古典概型

1. 古典概型的定义

1.1 等可能概型

若随机试验 $E$ 满足以下两个条件：

1. 有限性：样本空间 $\Omega$ 中样本点的个数是有限的，即 $|\Omega |=n<\infty$
2. 等可能性：每个样本点出现的概率相等，即 $P({\omega }_1)=P({\omega }_2)=\cdots =P({\omega }_n)=\frac{1}{n}$

则称此试验为古典概型（等可能概型）。

1.2 古典概型的概率计算

对于古典概型，事件 $A$ 的概率为：

$P(A)=\frac{A\text{ 包含的样本点数}}{\Omega \text{ 中的样本点总数}}=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{m}{n}$

其中 $m$ 为事件 $A$ 所包含的样本点个数（称为 $A$ 的有利场合数），$n$ 为样本空间 $\Omega$ 中样本点的总数。

1.3 古典概型的特点

• 概率值在 $[0,1]$ 之间
• 必然事件的概率为 1
• 不可能事件的概率为 0
• 若 $A_1,A_2,\cdots ,A_k$ 两两互斥，则 $P\left({\bigcup }_{i=1}^k{A}_i\right)={\sum }_{i=1}^{k}P(A_i)$

2. 排列组合基础

2.1 两个基本原理

加法原理：完成一件事有 $n$ 类办法，第 $i$ 类办法有 $m_i$ 种方法，则完成这件事共有

$N=m_1+m_2+\cdots +m_n$

种不同的方法。

乘法原理：完成一件事需要 $n$ 个步骤，第 $i$ 步有 $m_i$ 种方法，则完成这件事共有

$N=m_1\times m_2\times \cdots \times m_n$

种不同的方法。

2.2 排列

不可重复排列：从 $n$ 个不同元素中取出 $r$ 个（$0\le r\le n$），按一定顺序排成一列，称为从 $n$ 中取 $r$ 的排列，其排列数为：

$A_n^r=P_n^r=\frac{n!}{(n-r)!}$

当 $r=n$ 时，称为全排列：

$A_n^n=n!$

可重复排列：从 $n$ 个不同元素中可重复地取出 $r$ 个排成一列，排列数为：

$n^r$

圆排列：$n$ 个不同元素围成一圈的排列数为：

$(n-1)!$

2.3 组合

不可重复组合：从 $n$ 个不同元素中取出 $r$ 个（$0\le r\le n$），不考虑顺序，称为从 $n$ 中取 $r$ 的组合，其组合数为：

$C_n^r=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)=\frac{n!}{r!(n-r)!}=\frac{A_n^r}{r!}$

可重复组合：从 $n$ 个不同元素中可重复地取出 $r$ 个（不考虑顺序），组合数为：

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+r-1}{r}\right)=H_n^r$

2.4 组合的重要性质

1. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-r}\right)$

2. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{r-1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{r}\right)$（帕斯卡恒等式）

3. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)+\cdots +\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n}\right)=2^n$

4. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)-\cdots +(-1{)}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})=0$

5. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{r}\right)={\sum }_{k=0}^r\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r-k}\right)$（范德蒙德恒等式）

6. ${\sum }_{k=0}^n{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}^2=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)$

3. 古典概型的典型问题

3.1 抽球问题

问题：袋中有 $a$ 个白球和 $b$ 个黑球，从中任取 $n$ 个球（$n\le a+b$），求恰好取到 $k$ 个白球的概率。

解：样本空间总数为 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a+b}{n}\right)$，有利场合数为 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{k}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{n-k}\right)$，因此

$P=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{k}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{n-k}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a+b}{n}\right)}$

这称为超几何分布的概率公式。

3.2 分房问题

问题：将 $n$ 个人随机地分到 $N$ 个房间中（$N\ge n$），求下列事件的概率：

（1）指定的 $n$ 个房间各有一人；

（2）恰有 $n$ 个房间各有一人。

解：每个人有 $N$ 种选择，$n$ 个人共有 $N^n$ 种分法。

（1）有利场合数为 $n!$（$n$ 个人在指定 $n$ 个房间的全排列），故

$P_1=\frac{n!}{N^n}$

（2）有利场合数为 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n}\right)\cdot n!=A_N^n$，故

$P_2=\frac{A_N^n}{N^n}=\frac{N!}{N^n(N-n)!}$

3.3 生日问题

问题：$n$ 个人中至少有两人生日相同的概率是多少？（一年按 365 天计）

解：直接计算”至少两人同生日”较复杂，考虑对立事件”所有人生日各不相同”：

$P(\text{至少两人同生日})=1-P(\text{各不相同})=1-\frac{A_{365}^n}{365^n}=1-\frac{365!}{365^n(365-n)!}$

当 $n=23$ 时，$P\approx 0.507$；当 $n=50$ 时，$P\approx 0.970$；当 $n=100$ 时，$P\approx 0.9999997$。

3.4 配对问题

问题：将 $n$ 封信随机放入 $n$ 个信封，求至少有一封信放对的概率。

解：设 $A_i$ 表示第 $i$ 封信放对（$i=1,2,\cdots ,n$），则

$P\left({\bigcup }_{i=1}^n{A}_i\right)={\sum }_{k=1}^n(-1{)}^{k-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{(n-k)!}{n!}={\sum }_{k=1}^n\frac{(-1{)}^{k-1}}{k!}$

当 $n\to \infty$ 时，$P\to 1-e^{-1}\approx 0.6321$。

3.5 占位问题

问题：将 $r$ 个球随机放入 $n$ 个盒子中（$r\ge n$），求每个盒子都不空的概率。

解：利用容斥原理：

$P=\frac{1}{n^r}{\sum }_{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(n-k{)}^r$

4. 古典概型的解题策略

4.1 解题步骤

1. 明确试验：确定随机试验的内容
2. 确定样本空间：写出所有可能结果，计算 $|\Omega |$
3. 确定事件：用集合表示所求事件，计算 $|A|$
4. 计算概率：$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}$

4.2 注意事项

• 样本空间的选取应保证等可能性
• 同一问题可以有不同的样本空间选取方式
• 复杂问题可考虑对立事件简化计算
• 善用排列组合公式计算有利场合数
• 注意”有序”与”无序”的区别

4.3 常见错误

1. 忽略等可能性：样本点的选取必须保证等可能
2. 重复计数：在排列组合中避免重复计算
3. 遗漏情况：分类讨论时要做到不重不漏
4. 混淆排列与组合：注意是否考虑顺序