三大分布

1. χ² 分布

1.1 定义

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 独立同分布，$X_i\sim N(0,1)$，则

${\chi }^2=X_1^2+X_2^2+\cdots +X_n^2$

服从自由度为 $n$ 的 ${\chi }^2$ 分布，记作 ${\chi }^2\sim {\chi }^2(n)$。

1.2 密度函数

$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2^{n/2}\Gamma (n/2)}{x}^{n/2-1}{e}^{-x/2},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$

${\chi }^2(n)$ 分布实际上是 $\Gamma \left(\frac{n}{2},\frac{1}{2}\right)$ 分布。

1.3 性质

1. 期望与方差：$E({\chi }^2)=n$，$D({\chi }^2)=2n$

2. 可加性：若 ${\chi }_1^2\sim {\chi }^2(n_1)$，${\chi }_2^2\sim {\chi }^2(n_2)$，且独立，则

${\chi }_1^2+{\chi }_2^2\sim {\chi }^2(n_1+n_2)$

3. 与正态分布的关系：${\chi }^2(n)$ 是 $n$ 个独立标准正态变量平方和的分布

4. 渐近正态性：当 $n$ 充分大时，${\chi }^2(n)$ 近似 $N(n,2n)$

5. 与样本方差的关系：设 $X_1,\cdots ,X_n\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则

$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$

且 $\bar{X}$ 与 $S^2$ 独立。

1.4 上侧分位数

${\chi }_{\alpha }^2(n)$ 满足 $P({\chi }^2(n)>{\chi }_{\alpha }^2(n))=\alpha$。

2. t 分布

2.1 定义

设 $X\sim N(0,1)$，$Y\sim {\chi }^2(n)$，且 $X$ 与 $Y$ 独立，则

$T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}$

服从自由度为 $n$ 的 $t$ 分布（学生分布），记作 $T\sim t(n)$。

2.2 密度函数

$f(x)=\frac{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi }\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\left(1+\frac{x^2}{n}\right)}^{-(n+1)/2},-\infty <x<+\infty$

2.3 性质

1. 对称性：$t$ 分布关于 $x=0$ 对称

2. 期望与方差：

   • 当 $n>1$ 时，$E(T)=0$
   • 当 $n>2$ 时，$D(T)=\frac{n}{n-2}$

3. 与标准正态的关系：当 $n\to \infty$ 时，$t(n)\to N(0,1)$

   当 $n\ge 30$ 时，$t$ 分布与标准正态分布很接近。

4. 与样本均值的关系：设 $X_1,\cdots ,X_n\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则

$T=\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$

5. 尾部比正态分布厚：$t$ 分布的峰度大于 0（尖峰厚尾），自由度越小越明显

2.4 上侧分位数

$t_{\alpha }(n)$ 满足 $P(t(n)>t_{\alpha }(n))=\alpha$。

由对称性：$t_{1-\alpha }(n)=-t_{\alpha }(n)$。

3. F 分布

3.1 定义

设 $U\sim {\chi }^2(n_1)$，$V\sim {\chi }^2(n_2)$，且 $U$ 与 $V$ 独立，则

$F=\frac{U/n_1}{V/n_2}$

服从自由度为 $(n_1,n_2)$ 的 $F$ 分布，记作 $F\sim F(n_1,n_2)$。

3.2 密度函数

$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\Gamma \left(\frac{n_1+n_2}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n_1}{2}\right)\Gamma \left(\frac{n_2}{2}\right)}{\left(\frac{n_1}{n_2}\right)}^{n_1/2}{x}^{n_1/2-1}{\left(1+\frac{n_1}{n_2}x\right)}^{-(n_1+n_2)/2},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$

3.3 性质

1. 期望与方差：

   • 当 $n_2>2$ 时，$E(F)=\frac{n_2}{n_2-2}$
   • 当 $n_2>4$ 时，$D(F)=\frac{2n_2^2(n_1+n_2-2)}{n_1(n_2-2{)}^2(n_2-4)}$

2. 倒数关系：若 $F\sim F(n_1,n_2)$，则 $\frac{1}{F}\sim F(n_2,n_1)$

3. 与 $t$ 分布的关系：若 $T\sim t(n)$，则 $T^2\sim F(1,n)$

4. 与样本方差比的关系：设 $X_1,\cdots ,X_{n_1}\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$，$Y_1,\cdots ,Y_{n_2}\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$，两样本独立，则

$F=\frac{S_1^2/{\sigma }_1^2}{S_2^2/{\sigma }_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)$

3.4 上侧分位数

$F_{\alpha }(n_1,n_2)$ 满足 $P(F(n_1,n_2)>F_{\alpha }(n_1,n_2))=\alpha$。

由倒数关系：

$F_{1-\alpha }(n_1,n_2)=\frac{1}{F_{\alpha }(n_2,n_1)}$

4. 三大分布的关系

4.1 生成关系

$N(0,1)\stackrel{\text{平方和}}{\to }{\chi }^2(n)\stackrel{\text{比值}}{\to }t(n)\text{ 和 }F(n_1,n_2)$

具体地：

• $n$ 个 $N(0,1)$ 的平方和 $\to {\chi }^2(n)$
• $\frac{N(0,1)}{\sqrt{{\chi }^2(n)/n}}\to t(n)$
• $\frac{{\chi }^2(n_1)/n_1}{{\chi }^2(n_2)/n_2}\to F(n_1,n_2)$
• $t^2(n)=F(1,n)$

4.2 在统计推断中的角色