正态总体的抽样分布

1. 单正态总体的抽样分布

1.1 基本设定

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 为来自正态总体 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的简单随机样本，$\bar{X}$ 为样本均值，$S^2$ 为样本方差。

1.2 样本均值的分布

$\bar{X}\sim N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)$

标准化：

$\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$

1.3 样本方差的分布

$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$

1.4 样本均值与样本方差的独立性

定理：$\bar{X}$ 与 $S^2$ 相互独立。

这是正态总体特有的重要性质，非正态总体一般不具备。

1.5 t 统计量的分布

$\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$

推导：

$\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1),\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$

由 $\bar{X}$ 与 $S^2$ 独立：

$T=\frac{\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}/(n-1)}}=\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$

1.6 单正态总体抽样分布汇总

2. 双正态总体的抽样分布

2.1 基本设定

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_{n_1}$ 为来自 $N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$ 的样本，$Y_1,Y_2,\cdots ,Y_{n_2}$ 为来自 $N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$ 的样本，两样本独立。

2.2 均值差的分布

${\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2$ 已知：

$\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-({\mu }_1-{\mu }_2)}{\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{n_1}+\frac{{\sigma }_2^2}{n_2}}}\sim N(0,1)$

${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2={\sigma }^2$ 未知：

$\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-({\mu }_1-{\mu }_2)}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\sim t(n_1+n_2-2)$

其中

$S_w^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}$

为联合方差（合并方差）。

2.3 方差比的分布

$\frac{S_1^2/{\sigma }_1^2}{S_2^2/{\sigma }_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)$

特别地，当 ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$ 时：

$\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)$

2.4 双正态总体抽样分布汇总

3. 抽样分布的应用

3.1 参数估计

抽样分布是构造置信区间的基础：

• $\sigma$ 已知时，用 $Z$ 统计量构造均值的置信区间
• $\sigma$ 未知时，用 $t$ 统计量构造均值的置信区间
• 用 ${\chi }^2$ 统计量构造方差的置信区间
• 用 $F$ 统计量构造方差比的置信区间

3.2 假设检验

抽样分布是确定拒绝域的基础：

• $Z$ 检验：$\sigma$ 已知时的均值检验
• $t$ 检验：$\sigma$ 未知时的均值检验
• ${\chi }^2$ 检验：方差检验
• $F$ 检验：方差齐性检验

3.3 示例

例题：设 $X_1,\cdots ,X_{16}$ 为来自 $N(\mu ,4)$ 的样本，求 $P(|\bar{X}-\mu |<0.5)$。

解：$\bar{X}\sim N(\mu ,1/4)$，$\frac{\bar{X}-\mu }{1/2}\sim N(0,1)$。

$P(|\bar{X}-\mu |<0.5)=P\left(\left|\frac{\bar{X}-\mu }{0.5}\right|<1\right)=2\Phi (1)-1=0.6826$

例题：设 $X_1,\cdots ,X_{10}$ 为来自 $N(0,{\sigma }^2)$ 的样本，求 $E(S^2)$ 和 $D(S^2)$。

解：$\frac{9S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(9)$。

$E\left(\frac{9S^2}{{\sigma }^2}\right)=9⟹E(S^2)={\sigma }^2$

$D\left(\frac{9S^2}{{\sigma }^2}\right)=18⟹D(S^2)=\frac{18{\sigma }^4}{81}=\frac{2{\sigma }^4}{9}$