抽样分布典型例题

1. 统计量

例题1

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 为来自总体 $X$ 的样本，$E(X)=\mu$，$D(X)={\sigma }^2$，求 $E(\bar{X})$，$D(\bar{X})$ 和 $E(S^2)$。

解：

$E(\bar{X})=\mu ,D(\bar{X})=\frac{{\sigma }^2}{n},E(S^2)={\sigma }^2$

例题2

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_7$ 为来自 $N(0,1)$ 的样本，求 $E({\bar{X}}^2)$ 和 $D({\bar{X}}^2)$。

解：$\bar{X}\sim N(0,1/7)$，$\frac{\bar{X}}{1/\sqrt{7}}=\sqrt{7}\bar{X}\sim N(0,1)$。

$7{\bar{X}}^2\sim {\chi }^2(1)$

$E({\bar{X}}^2)=D(\bar{X})+[E(\bar{X}){]}^2=\frac{1}{7}$

$D({\bar{X}}^2)=D\left(\frac{{\chi }^2(1)}{7}\right)=\frac{2}{49}$

例题3

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 为来自 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的样本，$\bar{X}$ 和 $S^2$ 分别为样本均值和样本方差，求 $E({\bar{X}}^2)$。

解：

$E({\bar{X}}^2)=D(\bar{X})+[E(\bar{X}){]}^2=\frac{{\sigma }^2}{n}+{\mu }^2$

2. χ² 分布

例题4

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_6$ 为来自 $N(0,4)$ 的样本，求 $a$ 使得 $P\left({\sum }_{i=1}^6{X}_i^2>a\right)=0.05$。

解：$\frac{X_i}{2}\sim N(0,1)$，${\sum }_{i=1}^6\frac{X_i^2}{4}=\frac{1}{4}{\sum }_{i=1}^6{X}_i^2\sim {\chi }^2(6)$。

$P\left({\sum }_{i=1}^6{X}_i^2>a\right)=P\left(\frac{1}{4}{\sum }_{i=1}^6{X}_i^2>\frac{a}{4}\right)=0.05$

$\frac{a}{4}={\chi }_{0.05}^2(6)=12.592$

$a=50.368$

例题5

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_{10}$ 为来自 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的样本，求 $P\left(\frac{S^2}{{\sigma }^2}>2\right)$。

解：$\frac{9S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(9)$。

$P\left(\frac{S^2}{{\sigma }^2}>2\right)=P\left(\frac{9S^2}{{\sigma }^2}>18\right)$

查 ${\chi }^2$ 分布表，${\chi }_{0.05}^2(9)=16.919$，${\chi }_{0.025}^2(9)=19.023$。

$P({\chi }^2(9)>18)\approx 0.035$。

3. t 分布

例题6

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_9$ 为来自 $N(\mu ,4)$ 的样本，求 $P(|\bar{X}-\mu |<1)$。

解：$\sigma =2$ 已知，$\frac{\bar{X}-\mu }{2/3}\sim N(0,1)$。

$P(|\bar{X}-\mu |<1)=P\left(\left|\frac{\bar{X}-\mu }{2/3}\right|<1.5\right)=2\Phi (1.5)-1=2\times 0.9332-1=0.8664$

例题7

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_{16}$ 为来自 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的样本（$\sigma$ 未知），求 $P(|\bar{X}-\mu |<0.5S)$。

解：$T=\frac{\bar{X}-\mu }{S/4}\sim t(15)$。

$P(|\bar{X}-\mu |<0.5S)=P\left(\left|\frac{\bar{X}-\mu }{S/4}\right|<2\right)=P(|T|<2)$

查 $t$ 分布表，$t_{0.025}(15)=2.131$，$t_{0.05}(15)=1.753$。

$P(|T|<2)\approx 2\times 0.965-1=0.93$（近似值）。

例题8

设 $X_1,X_2,X_3,X_4$ 为来自 $N(0,1)$ 的样本，求 $a$ 和 $b$ 使得 $Y=a(X_1-X_2{)}^2+b(X_3+X_4{)}^2\sim {\chi }^2(2)$。

解：$X_1-X_2\sim N(0,2)$，$\frac{X_1-X_2}{\sqrt{2}}\sim N(0,1)$，$(X_1-X_2{)}^2/2\sim {\chi }^2(1)$。

$X_3+X_4\sim N(0,2)$，$(X_3+X_4{)}^2/2\sim {\chi }^2(1)$。

两者独立，故 $Y=\frac{(X_1-X_2{)}^2}{2}+\frac{(X_3+X_4{)}^2}{2}\sim {\chi }^2(2)$。

$a=b=\frac{1}{2}$。

4. F 分布

例题9

设 $X_1,\cdots ,X_8$ 和 $Y_1,\cdots ,Y_{10}$ 分别来自 $N({\mu }_1,{\sigma }^2)$ 和 $N({\mu }_2,{\sigma }^2)$，求 $P(S_1^2>2S_2^2)$。

解：$\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F(7,9)$。

$P(S_1^2>2S_2^2)=P\left(\frac{S_1^2}{S_2^2}>2\right)=P(F(7,9)>2)$

查 $F$ 分布表，$F_{0.10}(7,9)=2.51$，$F_{0.25}(7,9)=1.57$。

$P(F(7,9)>2)\approx 0.15$（近似值）。

例题10

设 $X_1,\cdots ,X_5$ 和 $Y_1,\cdots ,Y_6$ 分别来自 $N(0,{\sigma }_1^2)$ 和 $N(0,{\sigma }_2^2)$，求 $\frac{\sum X_i^2/5{\sigma }_1^2}{\sum Y_i^2/6{\sigma }_2^2}$ 的分布。

解：$\frac{{\sum }_{i=1}^5{X}_i^2}{{\sigma }_1^2}\sim {\chi }^2(5)$，$\frac{{\sum }_{j=1}^6{Y}_j^2}{{\sigma }_2^2}\sim {\chi }^2(6)$。

$\frac{\sum X_i^2/5{\sigma }_1^2}{\sum Y_i^2/6{\sigma }_2^2}=\frac{{\chi }^2(5)/5}{{\chi }^2(6)/6}\sim F(5,6)$

5. 综合题

例题11

设 $X_1,\cdots ,X_{25}$ 为来自 $N(3,100)$ 的样本，求 $P(0<\bar{X}-3<6)$ 和 $P(S^2>62.5)$。

解：

（1）$\bar{X}\sim N(3,4)$，$\frac{\bar{X}-3}{2}\sim N(0,1)$。

$P(0<\bar{X}-3<6)=P(0<Z<3)=\Phi (3)-\Phi (0)=0.9987-0.5=0.4987$

（2）$\frac{24S^2}{100}\sim {\chi }^2(24)$。

$P(S^2>62.5)=P\left(\frac{24S^2}{100}>15\right)$

${\chi }_{0.90}^2(24)=15.659$，故 $P({\chi }^2(24)>15)\approx 0.92$。

例题12

设 $X_1,\cdots ,X_n$ 为来自 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的样本，证明 $\bar{X}$ 与 $X_i-\bar{X}$ 不相关。

证明：

$\text{Cov}(\bar{X},X_i-\bar{X})=\text{Cov}(\bar{X},X_i)-\text{Cov}(\bar{X},\bar{X})$

$=\frac{{\sigma }^2}{n}-\frac{{\sigma }^2}{n}=0$

由于正态分布中不相关等价于独立，故 $\bar{X}$ 与 $X_i-\bar{X}$ 独立。

例题13

设 $X_1,\cdots ,X_{10}$ 为来自 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的样本，$S^2$ 为样本方差，已知 $P(S^2>{\sigma }^2)=0.5$，求 $P(S^2>2{\sigma }^2)$。

解：$\frac{9S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(9)$。

$P(S^2>{\sigma }^2)=P({\chi }^2(9)>9)=0.5$（因为 ${\chi }^2$ 分布的中位数在自由度附近）。

$P(S^2>2{\sigma }^2)=P({\chi }^2(9)>18)$。

查表：${\chi }_{0.05}^2(9)=16.919$，${\chi }_{0.025}^2(9)=19.023$。

$P({\chi }^2(9)>18)\approx 0.035$。

例题14

设 $X_1,\cdots ,X_6$ 为来自 $N(0,1)$ 的样本，求 $Y=\frac{X_1+X_2+X_3}{\sqrt{X_4^2+X_5^2+X_6^2}}$ 的分布。

解：$X_1+X_2+X_3\sim N(0,3)$，$\frac{X_1+X_2+X_3}{\sqrt{3}}\sim N(0,1)$。

$X_4^2+X_5^2+X_6^2\sim {\chi }^2(3)$。

$Y=\frac{(X_1+X_2+X_3)/\sqrt{3}}{\sqrt{(X_4^2+X_5^2+X_6^2)/3}}=\frac{N(0,1)}{\sqrt{{\chi }^2(3)/3}}\sim t(3)$

例题15

设 $X_1,\cdots ,X_{20}$ 为来自 $N(0,{\sigma }^2)$ 的样本，求 $a$ 和 $b$ 使得 $P\left(a<{\sum }_{i=1}^{20}{X}_i^2<b\right)=0.90$，且 $P\left({\sum }_{i=1}^{20}{X}_i^2<a\right)=P\left({\sum }_{i=1}^{20}{X}_i^2>b\right)=0.05$。

解：$\frac{1}{{\sigma }^2}{\sum }_{i=1}^{20}{X}_i^2\sim {\chi }^2(20)$。

$a={\sigma }^2{\chi }_{0.95}^2(20)={\sigma }^2\times 10.851$

$b={\sigma }^2{\chi }_{0.05}^2(20)={\sigma }^2\times 31.410$