Z检验

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6 min Intermediate 2026/6/14

单总体均值Z检验、双总体均值差Z检验的原理与应用。

1. 单总体均值的 Z 检验

1.1 适用条件

总体服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ， $σ$ 已知
或总体分布未知，但大样本（ $n \geq 30$ ），由中心极限定理近似

1.2 检验步骤

假设：

双侧： $H_{0} : μ = μ_{0}$ ， $H_{1} : μ \neq = μ_{0}$
右侧： $H_{0} : μ \leq μ_{0}$ ， $H_{1} : μ > μ_{0}$
左侧： $H_{0} : μ \geq μ_{0}$ ， $H_{1} : μ < μ_{0}$

检验统计量：

$Z = \frac{X ˉ - μ _{0}}{σ / n}$

在 $H_{0}$ 成立时， $Z \sim N (0, 1)$ 。

拒绝域：

检验类型	拒绝域
双侧	$∥ Z ∥ > z_{α /2}$
右侧	$Z > z_{α}$
左侧	$Z < - z_{α}$

1.3 示例

例题：某工厂生产的灯泡寿命服从正态分布 $N (μ, 100)$ ，标准规定平均寿命不低于 1000 小时。现抽取 25 只灯泡，测得平均寿命 $\overset{x}{ˉ} = 995$ 小时。在 $α = 0.05$ 下检验灯泡寿命是否达标。

解：

$H_{0} : μ \geq 1000$ ， $H_{1} : μ < 1000$

$Z = \frac{995 - 1000}{10/5} = \frac{- 5}{2} = - 2.5$

$z_{0.05} = 1.645$ ，拒绝域 $Z < - 1.645$ 。

$Z = - 2.5 < - 1.645$ ，拒绝 $H_{0}$ ，认为灯泡寿命不达标。

2. 双总体均值差的 Z 检验

2.1 适用条件

两个正态总体 $N (μ_{1}, σ_{1}^{2})$ 和 $N (μ_{2}, σ_{2}^{2})$ ， $σ_{1}, σ_{2}$ 已知
或大样本近似

2.2 检验步骤

假设：

双侧： $H_{0} : μ_{1} - μ_{2} = d_{0}$ ， $H_{1} : μ_{1} - μ_{2} \neq = d_{0}$
右侧： $H_{0} : μ_{1} - μ_{2} \leq d_{0}$ ， $H_{1} : μ_{1} - μ_{2} > d_{0}$
左侧： $H_{0} : μ_{1} - μ_{2} \geq d_{0}$ ， $H_{1} : μ_{1} - μ_{2} < d_{0}$

（通常 $d_{0} = 0$ ）

检验统计量：

$Z = \frac{( X ˉ - Y ˉ ) - d _{0}}{\frac{σ _{1}^{2}}{n _{1}} + \frac{σ _{2}^{2}}{n _{2}}}$

在 $H_{0}$ 成立时， $Z \sim N (0, 1)$ 。

拒绝域：与单总体类似。

2.3 示例

例题：甲乙两台机床加工同一种零件，直径分别服从 $N (μ_{1}, 0.04)$ 和 $N (μ_{2}, 0.09)$ 。从甲机床抽取 6 件， $\overset{x}{ˉ} = 14.95$ ；从乙机床抽取 9 件， $\overset{y}{ˉ} = 15.02$ 。在 $α = 0.05$ 下检验两机床加工精度是否有显著差异。

解：

$H_{0} : μ_{1} = μ_{2}$ ， $H_{1} : μ_{1} \neq = μ_{2}$

$Z = \frac{14.95 - 15.02}{\frac{0.04}{6} + \frac{0.09}{9}} = \frac{- 0.07}{0.00667 + 0.01} = \frac{- 0.07}{0.129} = - 0.543$

$z_{0.025} = 1.96$ ， $∣ Z ∣ = 0.543 < 1.96$ ，不拒绝 $H_{0}$ 。

认为两机床加工精度无显著差异。

3. 大样本比例的 Z 检验

3.1 单总体比例

设 $X \sim B (n, p)$ ， $\overset{p}{^} = X / n$ 。

$H_{0} : p = p_{0}, H_{1} : p \neq = p_{0}$

$Z = \frac{p ^ - p _{0}}{p _{0} ( 1 - p _{0} ) / n}$

当 $n$ 较大时， $Z$ 近似 $N (0, 1)$ 。

3.2 双总体比例差

$H_{0} : p_{1} = p_{2}, H_{1} : p_{1} \neq = p_{2}$

$Z = \frac{p ^ _{1} - p ^ _{2}}{p ^ ( 1 - p ^ ) ( \frac{1}{n _{1}} + \frac{1}{n _{2}} )}$

其中 $\overset{p}{^} = \frac{X _{1} + X _{2}}{n _{1} + n _{2}}$ 为合并比例。

3.3 示例

例题：某产品原不合格率为 5%，采用新工艺后抽查 200 件，发现 6 件不合格。在 $α = 0.05$ 下检验新工艺是否降低了不合格率。

解：

$H_{0} : p \geq 0.05$ ， $H_{1} : p < 0.05$

$\overset{p}{^} = \frac{6}{200} = 0.03$

$Z = \frac{0.03 - 0.05}{0.05 \times 0.95/200} = \frac{- 0.02}{0.01541} = - 1.298$

$- z_{0.05} = - 1.645$ ， $Z = - 1.298 > - 1.645$ ，不拒绝 $H_{0}$ 。

不能认为新工艺显著降低了不合格率。

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