F检验

1. 两总体方差比的 F 检验

1.1 适用条件

两个正态总体 $N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$ 和 $N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$，检验方差是否相等（方差齐性检验）。

1.2 检验步骤

假设：

• 双侧：$H_0:{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$，$H_1:{\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2$
• 右侧：$H_0:{\sigma }_1^2\le {\sigma }_2^2$，$H_1:{\sigma }_1^2>{\sigma }_2^2$
• 左侧：$H_0:{\sigma }_1^2\ge {\sigma }_2^2$，$H_1:{\sigma }_1^2<{\sigma }_2^2$

检验统计量：

$F=\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)$

约定：在双侧检验中，将较大的样本方差放在分子上，使 $F\ge 1$。

拒绝域：

1.3 示例

例题：甲乙两台机床加工同种零件，分别抽取 10 件和 8 件，测得 $s_1^2=0.064$，$s_2^2=0.030$。在 $\alpha =0.05$ 下检验两机床加工精度是否有显著差异。

解：

$H_0:{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$，$H_1:{\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2$

$F=\frac{0.064}{0.030}=2.133$

$F_{0.025}(9,7)=4.82$，$F=2.133<4.82$，不拒绝 $H_0$。

两机床加工精度无显著差异。

1.4 F 检验在 t 检验中的作用

在进行双总体 t 检验之前，通常需要先进行 F 检验判断方差是否相等：

• 若 ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$，使用等方差 t 检验
• 若 ${\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2$，使用 Welch t 检验

2. 单因素方差分析

2.1 问题

比较 $k$ 个正态总体的均值是否相等。

2.2 模型

设 $k$ 个正态总体 $N({\mu }_i,{\sigma }^2)$（$i=1,2,\cdots ,k$），方差相等，从第 $i$ 个总体抽取 $n_i$ 个样本。

假设：$H_0:{\mu }_1={\mu }_2=\cdots ={\mu }_k$，$H_1:{\mu }_i$ 不全相等

2.3 方差分析表

其中：

$S_T={\sum }_{i=1}^k{\sum }_{j=1}^{n_i}(X_{ij}-\bar{X}{)}^2$

$S_A={\sum }_{i=1}^k{n}_i({\bar{X}}_i-\bar{X}{)}^2$

$S_E=S_T-S_A={\sum }_{i=1}^k{\sum }_{j=1}^{n_i}(X_{ij}-{\bar{X}}_i{)}^2$

2.4 检验

$F=\frac{{\bar{S}}_A}{{\bar{S}}_E}\sim F(k-1,n-k)$

拒绝域：$F>F_{\alpha }(k-1,n-k)$。

2.5 示例

例题：三种饲料对猪增重（kg）的试验数据如下：

饲料A：51, 40, 43, 48 饲料B：23, 32, 28, 35 饲料C：23, 25, 26, 18

在 $\alpha =0.05$ 下检验三种饲料效果是否有显著差异。

解：

${\bar{X}}_A=45.5$，${\bar{X}}_B=29.5$，${\bar{X}}_C=23$，$\bar{X}=32.67$

$S_A=4(45.5-32.67{)}^2+4(29.5-32.67{)}^2+4(23-32.67{)}^2=657.6+40.1+374.7=1072.4$

$S_E=\sum (X_{ij}-{\bar{X}}_i{)}^2=74+82+34=190$

$F=\frac{1072.4/2}{190/9}=\frac{536.2}{21.1}=25.41$

$F_{0.05}(2,9)=4.26$，$F=25.41>4.26$，拒绝 $H_0$。

三种饲料效果有显著差异。

3. 方差分析的前提条件

1. 正态性：各总体服从正态分布
2. 方差齐性：各总体方差相等
3. 独立性：各样本相互独立

当方差齐性不满足时，可使用 Welch 方差分析或非参数方法（如 Kruskal-Wallis 检验）。