随机变量典型例题

1. 离散型随机变量

例题1

某射手每次射击命中目标的概率为 0.8，连续射击直到命中为止。求射击次数 $X$ 的分布律及 $P(X\le 3)$。

解：$X$ 服从几何分布 $G(0.8)$。

$P(X=k)=0.2^{k-1}\times 0.8,k=1,2,3,\cdots$

$P(X\le 3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.8+0.16+0.032=0.992$

例题2

设某电话交换台每分钟接到的呼叫次数 $X$ 服从参数 $\lambda =3$ 的泊松分布，求：

（1）一分钟内恰好接到 5 次呼叫的概率；

（2）一分钟内接到呼叫次数不超过 2 次的概率。

解：$X\sim P(3)$。

（1）$P(X=5)=\frac{3^5{e}^{-3}}{5!}=\frac{243\times 0.0498}{120}\approx 0.1008$

（2）$P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=e^{-3}(1+3+4.5)=8.5e^{-3}\approx 0.4232$

例题3

一批产品共 100 件，其中 10 件次品。从中任取 5 件，求取到次品数 $X$ 的分布律。

解：$X\sim H(100,10,5)$。

$P(X=k)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{k}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{90}{5-k}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{5}\right)},k=0,1,2,3,4,5$

2. 连续型随机变量

例题4

设随机变量 $X$ 的密度函数为

$f(x)=\{\begin{array}{ll}A{x}^2,& 0\le x\le 1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$

求：（1）常数 $A$；（2）$P(0.2<X<0.5)$；（3）$X$ 的分布函数。

解：

（1）由规范性 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1$：

${\int }_0^{1}A{x}^{2}dx=A\cdot \frac{1}{3}=1⟹A=3$

（2）$P(0.2<X<0.5)={\int }_{0.2}^{0.5}3x^{2}dx=[x^3{]}_{0.2}^{0.5}=0.125-0.008=0.117$

（3）当 $x<0$ 时，$F(x)=0$；

当 $0\le x<1$ 时，$F(x)={\int }_0^{x}3t^{2}dt=x^3$；

当 $x\ge 1$ 时，$F(x)=1$。

$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0\\ x^3,& 0\le x<1\\ 1,& x\ge 1\end{array}$

例题5

设 $X\sim N(2,9)$，求：

（1）$P(X<5)$；（2）$P(-4<X<8)$；（3）$P(|X|>4)$。

解：$\mu =2$，$\sigma =3$。

（1）$P(X<5)=\Phi \left(\frac{5-2}{3}\right)=\Phi (1)=0.8413$

（2）$P(-4<X<8)=\Phi \left(\frac{8-2}{3}\right)-\Phi \left(\frac{-4-2}{3}\right)=\Phi (2)-\Phi (-2)=2\Phi (2)-1=2\times 0.9772-1=0.9544$

（3）$P(|X|>4)=P(X>4)+P(X<-4)$

$=1-\Phi \left(\frac{4-2}{3}\right)+\Phi \left(\frac{-4-2}{3}\right)=1-\Phi (0.667)+\Phi (-2)=1-0.7476+0.0228=0.2752$

3. 分布函数

例题6

设随机变量 $X$ 的分布函数为

$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0\\ Ax+B,& 0\le x<1\\ 1,& x\ge 1\end{array}$

求常数 $A,B$ 及 $P(0.3<X<0.7)$。

解：由 $F(0)=0$ 得 $B=0$；由 $F(1^{-})=1$ 得 $A=1$。

$P(0.3<X<0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.7-0.3=0.4$

例题7

设随机变量 $X$ 的分布函数为

$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<-1\\ 0.2,& -1\le x<0\\ 0.7,& 0\le x<1\\ 1,& x\ge 1\end{array}$

求 $X$ 的分布律。

解：$X$ 为离散型随机变量，取值为 $-1,0,1$。

$P(X=-1)=F(-1)-F(-1^{-})=0.2-0=0.2$

$P(X=0)=F(0)-F(0^{-})=0.7-0.2=0.5$

$P(X=1)=F(1)-F(1^{-})=1-0.7=0.3$

4. 常用分布

例题8

某元件的寿命 $X$（小时）服从参数 $\lambda =0.001$ 的指数分布。求：

（1）元件寿命超过 1000 小时的概率；

（2）已知元件已使用了 500 小时，再使用 1000 小时的概率。

解：$X\sim \text{Exp}(0.001)$。

（1）$P(X>1000)=e^{-0.001\times 1000}=e^{-1}\approx 0.3679$

（2）由无记忆性：

$P(X>500+1000\mid X>500)=P(X>1000)=e^{-1}\approx 0.3679$

例题9

设 $X\sim B(n,p)$，且 $E(X)=12$，$D(X)=8$，求 $n$ 和 $p$。

解：

$E(X)=np=12,D(X)=np(1-p)=8$

$1-p=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}⟹p=\frac{1}{3}$

$n=\frac{12}{1/3}=36$

5. 随机变量函数的分布

例题10

设 $X\sim U(0,1)$，求 $Y=-2\ln X$ 的分布。

解：当 $y>0$ 时：

$F_Y(y)=P(-2\ln X\le y)=P(\ln X\ge -y/2)=P(X\ge e^{-y/2})=1-e^{-y/2}$

$f_Y(y)=\frac{1}{2}{e}^{-y/2},y>0$

即 $Y\sim \text{Exp}(1/2)$，也即 $Y\sim {\chi }^2(2)$。

例题11

设 $X\sim U(-1,2)$，求 $Y=X^2$ 的密度函数。

解：$Y$ 的取值范围为 $[0,4)$。

当 $0\le y<1$ 时：

$F_Y(y)=P(X^2\le y)=P(-\sqrt{y}\le X\le \sqrt{y})={\int }_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}\frac{1}{3}dx=\frac{2\sqrt{y}}{3}$

$f_Y(y)=\frac{1}{3\sqrt{y}}$

当 $1\le y<4$ 时：

$F_Y(y)=P(X^2\le y)=P(-\sqrt{y}\le X\le \sqrt{y})$

由于 $X\in [-1,2]$，所以 $-\sqrt{y}\le X$ 等价于 $X\ge -1$（因为 $\sqrt{y}\ge 1$），

$F_Y(y)=P(-1\le X\le \sqrt{y})=\frac{\sqrt{y}+1}{3}$

$f_Y(y)=\frac{1}{6\sqrt{y}}$

综上：

$f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3\sqrt{y}},& 0<y<1\\ \frac{1}{6\sqrt{y}},& 1\le y<4\\ 0,& \text{其他}\end{array}$

例题12

设 $X\sim N(0,1)$，求 $Y=e^X$ 的密度函数。

解：$y=e^x$ 严格单调递增，$x=\ln y$，$x^{\prime }=\frac{1}{y}$。

$f_Y(y)=f_X(\ln y)\cdot \frac{1}{y}=\frac{1}{y}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(\ln y{)}^2}{2}},y>0$

这是对数正态分布的密度函数。

6. 综合题

例题13

设随机变量 $X$ 的密度函数为 $f(x)=\frac{1}{2}{e}^{-|x|}$（$-\infty <x<+\infty$），求 $Y=|X|$ 的密度函数。

解：当 $y>0$ 时：

$F_Y(y)=P(|X|\le y)=P(-y\le X\le y)={\int }_{-y}^y\frac{1}{2}{e}^{-|x|}dx=2{\int }_0^y\frac{1}{2}{e}^{-x}dx=1-e^{-y}$

$f_Y(y)=e^{-y},y>0$

即 $Y\sim \text{Exp}(1)$。

例题14

设 $X\sim U(0,\pi )$，求 $Y=\sin X$ 的密度函数。

解：$Y$ 的取值范围为 $[0,1]$。

当 $0<y<1$ 时，$\sin x\le y$ 在 $[0,\pi ]$ 上的解为 $x\in [0,\arcsin y]\cup [\pi -\arcsin y,\pi ]$。

$F_Y(y)=P(\sin X\le y)=\frac{\arcsin y+\arcsin y}{\pi }=\frac{2\arcsin y}{\pi }$

$f_Y(y)=\frac{2}{\pi \sqrt{1-y^2}},0<y<1$

例题15

证明：若 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则 $Y=\frac{X-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$。

证明：$y=\frac{x-\mu }{\sigma }$ 严格单调递增，$x=\sigma y+\mu$，$\frac{dx}{dy}=\sigma$。

$f_Y(y)=f_X(\sigma y+\mu )\cdot \sigma =\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(\sigma y+\mu -\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}\cdot \sigma =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{y^2}{2}}=\phi (y)$

故 $Y\sim N(0,1)$。