连续型随机变量

1. 连续型随机变量的概念

1.1 概率密度函数

设 $F(x)$ 为随机变量 $X$ 的分布函数，若存在非负可积函数 $f(x)$，使得对任意实数 $x$，有

$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$

则称 $X$ 为连续型随机变量，$f(x)$ 为 $X$ 的概率密度函数（简称密度函数或密度）。

1.2 概率密度函数的性质

1. 非负性：$f(x)\ge 0$
2. 规范性：${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1$
3. 概率计算：$P(a<X\le b)={\int }_a^{b}f(x)dx$
4. 单点概率为零：$P(X=x_0)=0$（对任意 $x_0$）
5. 在连续点处：$F^{\prime }(x)=f(x)$

1.3 连续型随机变量的特点

• 取任一确定值的概率为零
• $P(a<X<b)=P(a\le X<b)=P(a<X\le b)=P(a\le X\le b)$
• 分布函数 $F(x)$ 是连续函数

2. 均匀分布

2.1 定义

若随机变量 $X$ 的概率密度为

$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a},& a\le x\le b\\ 0,& \text{其他}\end{array}$

则称 $X$ 在区间 $[a,b]$ 上服从均匀分布，记作 $X\sim U(a,b)$。

2.2 分布函数

$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<a\\ \frac{x-a}{b-a},& a\le x<b\\ 1,& x\ge b\end{array}$

2.3 性质

1. 期望与方差：$E(X)=\frac{a+b}{2}$，$D(X)=\frac{(b-a{)}^2}{12}$

2. 等可能性：$X$ 落在 $[a,b]$ 中任意等长度的子区间内的概率相等

3. 线性变换：若 $X\sim U(a,b)$，则 $Y=\frac{X-a}{b-a}\sim U(0,1)$

2.4 应用

均匀分布常用于：

• 随机数的生成（计算机中的伪随机数）
• 舍入误差的建模
• 缺乏先验信息时的初始假设

3. 指数分布

3.1 定义

若随机变量 $X$ 的概率密度为

$f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$

其中 $\lambda >0$ 为常数，则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，记作 $X\sim \text{Exp}(\lambda )$。

3.2 分布函数

$F(x)=\{\begin{array}{ll}1-e^{-\lambda x},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$

3.3 性质

1. 期望与方差：$E(X)=\frac{1}{\lambda }$，$D(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}$

2. 无记忆性：对任意 $s,t>0$，

$P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)$

证明：

$P(X>s+t\mid X>s)=\frac{P(X>s+t)}{P(X>s)}=\frac{e^{-\lambda (s+t)}}{e^{-\lambda s}}=e^{-\lambda t}=P(X>t)$

指数分布是唯一具有无记忆性的连续型分布。

3. 与泊松过程的关系：若事件的发生服从参数为 $\lambda$ 的泊松过程，则相邻两个事件的时间间隔服从 $\text{Exp}(\lambda )$。

3.4 应用

• 电子元件的寿命
• 等待时间（如顾客到达的间隔时间）
• 电话通话时间
• 放射性衰变时间

4. 正态分布

4.1 定义

若随机变量 $X$ 的概率密度为

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}},-\infty <x<+\infty$

其中 $\mu$ 和 $\sigma >0$ 为常数，则称 $X$ 服从参数为 $\mu ,{\sigma }^2$ 的正态分布（高斯分布），记作 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$。

4.2 正态分布的密度函数特征

1. 对称性：$f(x)$ 关于 $x=\mu$ 对称
2. 最大值：$f(\mu )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }$
3. 拐点：$x=\mu \pm \sigma$ 处有拐点
4. 渐近线：$x$ 轴为水平渐近线
5. $\mu$ 决定曲线的位置，$\sigma$ 决定曲线的形状（$\sigma$ 越大曲线越矮胖，$\sigma$ 越小曲线越瘦高）

4.3 标准正态分布

当 $\mu =0,\sigma =1$ 时，$X\sim N(0,1)$ 称为标准正态分布，其密度函数和分布函数分别记为

$\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}},\Phi (x)={\int }_{-\infty }^x\phi (t)dt$

标准正态分布的性质：

1. $\Phi (-x)=1-\Phi (x)$
2. $\Phi (0)=0.5$
3. $P(|X|\le a)=2\Phi (a)-1$

4.4 标准化

若 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则 $Z=\frac{X-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$。

因此

$P(a<X<b)=P\left(\frac{a-\mu }{\sigma }<Z<\frac{b-\mu }{\sigma }\right)=\Phi \left(\frac{b-\mu }{\sigma }\right)-\Phi \left(\frac{a-\mu }{\sigma }\right)$

4.5 正态分布的 $3\sigma$ 法则

$P(\mu -\sigma <X<\mu +\sigma )\approx 0.6827$

$P(\mu -2\sigma <X<\mu +2\sigma )\approx 0.9545$

$P(\mu -3\sigma <X<\mu +3\sigma )\approx 0.9973$

即正态随机变量几乎全部落在 $(\mu -3\sigma ,\mu +3\sigma )$ 之内。

4.6 正态分布的性质

1. 期望与方差：$E(X)=\mu$，$D(X)={\sigma }^2$

2. 线性变换：若 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则 $aX+b\sim N(a\mu +b,a^2{\sigma }^2)$

3. 可加性：若 $X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$，$Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$，且 $X$ 与 $Y$ 独立，则

$X+Y\sim N({\mu }_1+{\mu }_2,{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2)$

4. 更一般地：独立正态随机变量的线性组合仍为正态随机变量

4.7 正态分布的应用

正态分布是概率论中最重要的分布，其重要性源于：

• 中心极限定理：大量独立同分布随机变量之和近似服从正态分布
• 误差理论：测量误差通常服从正态分布
• 自然界：许多自然现象近似服从正态分布（身高、考试成绩等）

4.8 正态分布计算示例

例题：设 $X\sim N(3,4)$，求 $P(2<X<5)$。

解：$\mu =3$，$\sigma =2$。

$P(2<X<5)=\Phi \left(\frac{5-3}{2}\right)-\Phi \left(\frac{2-3}{2}\right)=\Phi (1)-\Phi (-0.5)$

$=\Phi (1)-(1-\Phi (0.5))=0.8413-(1-0.6915)=0.8413-0.3085=0.5328$