随机变量函数的分布

1. 问题的提出

设 $X$ 是一个随机变量，其分布已知，$g(x)$ 是一个连续函数，如何求 $Y=g(X)$ 的分布？

这是概率论中的基本问题之一，主要有以下几种方法。

2. 分布函数法

2.1 基本思路

分布函数法是求随机变量函数分布的最基本方法，步骤如下：

1. 写出 $Y$ 的分布函数 $F_Y(y)=P(Y\le y)=P(g(X)\le y)$
2. 将不等式 $g(X)\le y$ 转化为关于 $X$ 的不等式
3. 利用 $X$ 的分布求出 $F_Y(y)$
4. 对 $F_Y(y)$ 求导得到 $f_Y(y)$（连续型）

2.2 单调函数的情形

若 $g(x)$ 严格单调且可导，则 $Y=g(X)$ 的密度函数为：

$f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}{f}_X(g^{-1}(y))\cdot |(g^{-1}(y){)}^{\prime }|,& y\in g\text{ 的值域}\\ 0,& \text{其他}\end{array}$

推导：设 $g$ 严格单调递增，则

$F_Y(y)=P(g(X)\le y)=P(X\le g^{-1}(y))=F_X(g^{-1}(y))$

$f_Y(y)=F_Y^{\prime }(y)=f_X(g^{-1}(y))\cdot (g^{-1}(y){)}^{\prime }$

若 $g$ 严格单调递减，则

$F_Y(y)=P(g(X)\le y)=P(X\ge g^{-1}(y))=1-F_X(g^{-1}(y))$

$f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))\cdot |(g^{-1}(y){)}^{\prime }|$

2.3 示例

例题：设 $X\sim N(0,1)$，求 $Y=X^2$ 的分布。

解：

当 $y\le 0$ 时，$F_Y(y)=0$。

当 $y>0$ 时：

$F_Y(y)=P(X^2\le y)=P(-\sqrt{y}\le X\le \sqrt{y})=\Phi (\sqrt{y})-\Phi (-\sqrt{y})=2\Phi (\sqrt{y})-1$

$f_Y(y)=F_Y^{\prime }(y)=2\phi (\sqrt{y})\cdot \frac{1}{2\sqrt{y}}=\frac{1}{\sqrt{y}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-y/2}=\frac{1}{\sqrt{2\pi y}}{e}^{-y/2}$

即 $Y\sim {\chi }^2(1)$。

3. 公式法

3.1 适用条件

当 $g(x)$ 严格单调且可导时，可直接使用公式：

$f_Y(y)=f_X(h(y))\cdot |h^{\prime }(y)|$

其中 $h(y)=g^{-1}(y)$ 是 $g$ 的反函数。

3.2 常见变换

线性变换：$Y=aX+b$（$a\ne 0$）

$f_Y(y)=\frac{1}{|a|}{f}_X\left(\frac{y-b}{a}\right)$

特别地，若 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则 $Y=aX+b\sim N(a\mu +b,a^2{\sigma }^2)$。

幂变换：$Y=X^2$（$X>0$）

$f_Y(y)=\frac{1}{2\sqrt{y}}{f}_X(\sqrt{y}),y>0$

指数变换：$Y=e^X$

$f_Y(y)=\frac{1}{y}{f}_X(\ln y),y>0$

对数变换：$Y=\ln X$（$X>0$）

$f_Y(y)=e^y{f}_X(e^y)$

3.3 公式法的局限性

当 $g(x)$ 不单调时，公式法不能直接使用，需要用分布函数法分段处理。

4. 非单调函数的处理

4.1 分段单调

若 $g(x)$ 在若干区间上分别单调，则在每个单调区间上分别使用公式法，然后求和。

例题：设 $X\sim N(0,1)$，求 $Y=|X|$ 的分布。

解：$y=|x|$ 在 $(-\infty ,0)$ 上单调递减，在 $(0,+\infty )$ 上单调递增。

当 $y>0$ 时：

$F_Y(y)=P(|X|\le y)=P(-y\le X\le y)=\Phi (y)-\Phi (-y)=2\Phi (y)-1$

$f_Y(y)=2\phi (y)=\frac{2}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-y^2/2},y>0$

4.2 一般方法

对于一般的 $g(x)$：

1. 对每个 $y$，求出 $\{x:g(x)\le y\}$ 的范围
2. 利用 $X$ 的分布计算 $P(g(X)\le y)$
3. 对 $F_Y(y)$ 求导

5. 离散型随机变量函数的分布

5.1 方法

设 $X$ 为离散型随机变量，分布律为 $P(X=x_k)=p_k$，$Y=g(X)$。

1. 列出 $Y$ 的所有可能取值 $y_1,y_2,\cdots$
2. 对每个 $y_j$，计算 $P(Y=y_j)={\sum }_{g(x_k)=y_j}{p}_k$

5.2 示例

例题：设 $X$ 的分布律为：

求 $Y=X^2$ 的分布律。

解：$Y$ 的可能取值为 $0,1,4$。

$P(Y=0)=P(X=0)=0.3$

$P(Y=1)=P(X=-1)+P(X=1)=0.2+0.1=0.3$

$P(Y=4)=P(X=2)=0.4$

6. 常见变换总结

6.1 正态分布的变换

6.2 均匀分布的变换

6.3 指数分布的变换