几何概型

1. 几何概型的定义

1.1 从古典概型到几何概型

古典概型要求样本空间有限且等可能，但当样本空间为无限集（如区间、区域）时，古典概型不再适用。几何概型将”等可能”的概念推广到连续情形。

1.2 几何概型的条件

若随机试验满足：

1. 无限性：样本空间 $\Omega$ 是一个可度量的几何区域（线段、平面区域、空间区域等）
2. 等可能性：试验结果落在 $\Omega$ 中任一可度量的子区域 $A$ 内的概率只与 $A$ 的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与 $A$ 的形状和位置无关

则称此试验为几何概型。

1.3 几何概率的计算

设 $\Omega$ 为可度量的几何区域，$A$ 为 $\Omega$ 的可度量子区域，则事件 $A$ 的概率为：

$P(A)=\frac{A\text{ 的度量}}{\Omega \text{ 的度量}}$

具体地：

• 一维情形（线段）：$P(A)=\frac{L(A)}{L(\Omega )}$
• 二维情形（平面区域）：$P(A)=\frac{S(A)}{S(\Omega )}$
• 三维情形（空间区域）：$P(A)=\frac{V(A)}{V(\Omega )}$

其中 $L$、$S$、$V$ 分别表示长度、面积和体积。

2. 几何概型的典型问题

2.1 会面问题

问题：甲乙两人约定在 8:00—9:00 之间在某地会面，先到者等候另一人 15 分钟后即离去。求两人能会面的概率。

解：设甲到达时刻为 $x$（分钟），乙到达时刻为 $y$（分钟），则

$\Omega =\{(x,y)\mid 0\le x\le 60,0\le y\le 60\}$

两人能会面的条件为 $|x-y|\le 15$，即

$A=\{(x,y)\mid |x-y|\le 15,0\le x\le 60,0\le y\le 60\}$

$S(\Omega )=60\times 60=3600$

$S(A)=3600-2\times \frac{1}{2}\times 45\times 45=3600-2025=1575$

$P(A)=\frac{1575}{3600}=\frac{7}{16}$

2.2 蒲丰投针问题

问题：平面上画有等距平行线，线距为 $a$，向平面任意投掷一枚长为 $l$（$l<a$）的针，求针与平行线相交的概率。

解：设针的中点到最近平行线的距离为 $x$，针与平行线的夹角为 $\theta$，则

$\Omega =\{(x,\theta )\mid 0\le x\le \frac{a}{2},0\le \theta \le \pi \}$

针与平行线相交的条件为 $x\le \frac{l}{2}\sin \theta$，即

$A=\left\{(x,\theta )\mid x\le \frac{l}{2}\sin \theta ,0\le \theta \le \pi ,0\le x\le \frac{a}{2}\right\}$

$S(\Omega )=\frac{a}{2}\cdot \pi =\frac{a\pi }{2}$

$S(A)={\int }_0^{\pi }\frac{l}{2}\sin \theta d\theta =\frac{l}{2}[-\cos \theta {]}_0^{\pi }=\frac{l}{2}\cdot 2=l$

$P(A)=\frac{l}{\frac{a\pi }{2}}=\frac{2l}{a\pi }$

由此可以估计 $\pi$ 的值：$\pi \approx \frac{2l}{a\cdot P(A)}$，这是蒙特卡洛方法的早期应用。

2.3 线段截取问题

问题：将长度为 $a$ 的线段任意折成三段，求此三段能构成三角形的概率。

解：设三段长度分别为 $x,y,z$，则 $x+y+z=a$，且 $x>0,y>0,z>0$。

构成三角形的条件为：

$x+y>z,y+z>x,z+x>y$

由于 $x+y+z=a$，上述条件等价于：

$x<\frac{a}{2},y<\frac{a}{2},z<\frac{a}{2}$

样本空间为三维空间中的正三角形区域，面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$。

有利区域为正三角形内部去掉三个角上的小三角形，面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2-3\times \frac{\sqrt{3}}{4}{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2\cdot \frac{1}{4}$。

$P=\frac{1}{4}$

2.4 随机取点问题

问题：在区间 $(0,1)$ 中随机取两个数，求两数之和小于 $\frac{6}{5}$ 的概率。

解：设两数为 $x,y$，则

$\Omega =\{(x,y)\mid 0<x<1,0<y<1\}$

$A=\left\{(x,y)\mid x+y<\frac{6}{5},0<x<1,0<y<1\right\}$

$S(\Omega )=1$

$S(A)=1-\frac{1}{2}\times \frac{4}{5}\times \frac{4}{5}=1-\frac{8}{25}=\frac{17}{25}$

$P(A)=\frac{17}{25}$

3. 几何概型的性质

3.1 概率的基本性质

几何概率同样满足概率的公理化定义：

1. 非负性：$P(A)\ge 0$
2. 规范性：$P(\Omega )=1$
3. 可列可加性：若 $A_1,A_2,\cdots$ 两两互斥，则 $P\left({\bigcup }_{i=1}^{\infty }{A}_i\right)={\sum }_{i=1}^{\infty }P(A_i)$

3.2 零概率事件不一定是不可能事件

在几何概型中，单点集的概率为零，但单点集并非不可能事件。例如，在 $(0,1)$ 上随机取一点，取到 $0.5$ 的概率为 0，但取到 $0.5$ 是可能的。

$P(\{x_0\})=\frac{L(\{x_0\})}{L((0,1))}=\frac{0}{1}=0$

但 $\{x_0\}\ne \varnothing$。

3.3 贝特朗悖论

几何概型中”等可能”的选取方式不唯一，不同的等可能假设可能导致不同的概率结果。

贝特朗悖论：在单位圆内随机取一条弦，求弦长超过 $\sqrt{3}$ 的概率。

• 方法一（随机端点）：$P=\frac{1}{3}$
• 方法二（随机半径上的点）：$P=\frac{1}{2}$
• 方法三（随机中点）：$P=\frac{1}{4}$

三种方法都合理，但结果不同，说明”随机”的定义需要明确。