假设检验典型例题

1. Z 检验

例题1

某厂生产钢丝的抗拉强度服从正态分布 $N(\mu ,64)$，标准要求 $\mu \ge 110$。现抽取 16 根，$\bar{x}=106$。在 $\alpha =0.05$ 下检验钢丝是否达标。

解：

$H_0:\mu \ge 110$，$H_1:\mu <110$

$Z=\frac{106-110}{8/4}=\frac{-4}{2}=-2$

$-z_{0.05}=-1.645$，$Z=-2<-1.645$，拒绝 $H_0$。

钢丝抗拉强度不达标。

例题2

某市调查 400 户家庭，其中 180 户拥有汽车。在 $\alpha =0.05$ 下检验该市家庭拥有汽车的比例是否为 50%。

解：

$H_0:p=0.5$，$H_1:p\ne 0.5$

$\hat{p}=0.45,Z=\frac{0.45-0.5}{\sqrt{0.5\times 0.5/400}}=\frac{-0.05}{0.025}=-2$

$z_{0.025}=1.96$，$|Z|=2>1.96$，拒绝 $H_0$。

拥有汽车的比例不是 50%。

2. t 检验

例题3

某品牌方便面标称每包净重 100g，抽取 9 包测得：99.3, 98.7, 100.5, 101.2, 98.3, 99.7, 99.5, 100.1, 100.7。在 $\alpha =0.05$ 下检验净重是否符合标称。

解：

$H_0:\mu =100$，$H_1:\mu \ne 100$

$\bar{x}=99.78$，$s=0.914$

$T=\frac{99.78-100}{0.914/3}=\frac{-0.22}{0.305}=-0.721$

$t_{0.025}(8)=2.306$，$|T|=0.721<2.306$，不拒绝 $H_0$。

净重符合标称。

例题4

为比较两种安眠药的效果，10 名患者分别服用两种药物，延长睡眠时间（小时）如下：

在 $\alpha =0.05$ 下检验两种药效果是否有显著差异。

解：配对 t 检验。$d_i=A_i-B_i$：

$d$: 1.2, 2.4, 1.3, 1.3, 0, 1.0, 1.8, 0.8, 4.6, 1.4

$\bar{d}=1.58$，$s_d=1.229$

$T=\frac{1.58}{1.229/\sqrt{10}}=\frac{1.58}{0.389}=4.062$

$t_{0.025}(9)=2.262$，$|T|=4.062>2.262$，拒绝 $H_0$。

两种药效果有显著差异。

例题5

甲乙两种工艺生产的产品长度分别服从正态分布，抽取样本：甲 $n_1=8$，$\bar{x}=10.5$，$s_1=0.4$；乙 $n_2=6$，$\bar{y}=10.1$，$s_2=0.3$。假设方差相等，在 $\alpha =0.05$ 下检验两种工艺产品长度是否有显著差异。

解：

$S_w^2=\frac{7\times 0.16+5\times 0.09}{12}=\frac{1.12+0.45}{12}=0.131$

$T=\frac{10.5-10.1}{\sqrt{0.131\times (1/8+1/6)}}=\frac{0.4}{\sqrt{0.131\times 0.292}}=\frac{0.4}{0.196}=2.041$

$t_{0.025}(12)=2.179$，$|T|=2.041<2.179$，不拒绝 $H_0$。

两种工艺产品长度无显著差异。

3. χ² 检验

例题6

某厂生产铜丝，其折断力服从正态分布，标准差为 8kg。现抽取 10 根，$s=10$kg。在 $\alpha =0.05$ 下检验折断力标准差是否变大。

解：

$H_0:{\sigma }^2\le 64$，$H_1:{\sigma }^2>64$

${\chi }^2=\frac{9\times 100}{64}=14.0625$

${\chi }_{0.05}^2(9)=16.919$，${\chi }^2=14.0625<16.919$，不拒绝 $H_0$。

折断力标准差未显著变大。

例题7

某电话交换台每分钟呼叫次数统计如下（共 100 分钟）：

在 $\alpha =0.05$ 下检验呼叫次数是否服从泊松分布。

解：$\hat{\lambda }=\bar{x}=\frac{0\times 5+1\times 15+2\times 25+3\times 25+4\times 18+5\times 8+6\times 4}{100}=2.61$

计算理论频数后进行 ${\chi }^2$ 拟合优度检验（需合并使每组 $n{p}_i\ge 5$）。

自由度 $=k-1-1=k-2$（估计了一个参数 $\lambda$）。

例题8

调查 300 人的血型与性格类型：

在 $\alpha =0.05$ 下检验血型与性格类型是否独立。

解：

$H_0$: 血型与性格独立

自由度 $=(3-1)(2-1)=2$

计算 ${\chi }^2$ 统计量并与 ${\chi }_{0.05}^2(2)=5.991$ 比较。

4. F 检验

例题9

两种型号灯泡的寿命分别服从正态分布，各抽取 10 只和 8 只，$s_1^2=2600$，$s_2^2=1100$。在 $\alpha =0.05$ 下检验两种灯泡寿命方差是否相等。

解：

$H_0:{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$，$H_1:{\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2$

$F=\frac{2600}{1100}=2.364$

$F_{0.025}(9,7)=4.82$，$F=2.364<4.82$，不拒绝 $H_0$。

两种灯泡寿命方差无显著差异。

例题10

三种教学方法的学生成绩如下：

方法A：73, 66, 89, 82, 43, 80, 63 方法B：88, 78, 91, 76, 85, 84 方法C：68, 79, 71, 71, 87

在 $\alpha =0.05$ 下检验三种教学方法效果是否有显著差异。

解：单因素方差分析。

${\bar{X}}_A=70.86$，${\bar{X}}_B=83.67$，${\bar{X}}_C=75.2$，$\bar{X}=76.17$

$S_A=7(70.86-76.17{)}^2+6(83.67-76.17{)}^2+5(75.2-76.17{)}^2=197.5+337.5+4.7=539.7$

$S_E=\sum (X_{ij}-{\bar{X}}_i{)}^2=1516.86+154.83+268.8=1940.49$

$F=\frac{539.7/2}{1940.49/15}=\frac{269.85}{129.37}=2.086$

$F_{0.05}(2,15)=3.68$，$F=2.086<3.68$，不拒绝 $H_0$。

三种教学方法效果无显著差异。

5. 综合题

例题11

设 $X_1,\cdots ,X_n\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，$\mu$ 未知，求 ${\sigma }^2$ 的 $1-\alpha$ 置信区间，并据此构造 ${\sigma }^2$ 的显著性水平为 $\alpha$ 的检验。

解：枢轴量 $\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$。

置信区间：$\left(\frac{(n-1)S^2}{{\chi }_{\alpha /2}^2(n-1)},\frac{(n-1)S^2}{{\chi }_{1-\alpha /2}^2(n-1)}\right)$

检验 $H_0:{\sigma }^2={\sigma }_0^2$：若 ${\sigma }_0^2$ 落在置信区间外，则拒绝 $H_0$。

例题12

设总体 $X\sim N(\mu ,1)$，$H_0:\mu =0$，$H_1:\mu =1$，样本量 $n=25$，$\alpha =0.05$，求第二类错误的概率 $\beta$。

解：拒绝域 $Z>1.645$，即 $\bar{X}>1.645/5=0.329$。

在 $H_1:\mu =1$ 下，$\bar{X}\sim N(1,1/25)$。

$\beta =P(\bar{X}\le 0.329\mid \mu =1)=\Phi \left(\frac{0.329-1}{0.2}\right)=\Phi (-3.355)\approx 0.0004$

例题13

某厂产品不合格率声称不超过 3%，现抽查 200 件发现 10 件不合格。在 $\alpha =0.05$ 下检验该声称是否可信。

解：

$H_0:p\le 0.03$，$H_1:p>0.03$

$\hat{p}=0.05,Z=\frac{0.05-0.03}{\sqrt{0.03\times 0.97/200}}=\frac{0.02}{0.01206}=1.658$

$z_{0.05}=1.645$，$Z=1.658>1.645$，拒绝 $H_0$。

不合格率超过 3%。

例题14

证明：在正态总体 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 中，$\bar{X}$ 与 $S^2$ 独立。

证明：$\bar{X}\sim N(\mu ,{\sigma }^2/n)$，$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$。

$\bar{X}$ 是 $\sum X_i$ 的函数，$S^2$ 是 $\sum (X_i-\bar{X}{)}^2$ 的函数。

由正态分布的性质，$\bar{X}$ 与 $X_i-\bar{X}$ 不相关（$\text{Cov}(\bar{X},X_i-\bar{X})=0$），在正态分布中不相关等价于独立。

因此 $\bar{X}$ 与 $(X_1-\bar{X},\cdots ,X_n-\bar{X})$ 独立，从而 $\bar{X}$ 与 $S^2$ 独立。

例题15

设 $X_1,\cdots ,X_n\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，${\sigma }^2$ 已知，$H_0:\mu ={\mu }_0$，$H_1:\mu >{\mu }_0$。求使功效 $1-\beta \ge 0.9$（当 $\mu ={\mu }_0+\delta$ 时）所需的最小样本量。

解：拒绝域 $Z>z_{\alpha }$，即 $\bar{X}>{\mu }_0+z_{\alpha }\sigma /\sqrt{n}$。

在 $\mu ={\mu }_0+\delta$ 下：

$1-\beta =P\left(\bar{X}>{\mu }_0+\frac{z_{\alpha }\sigma }{\sqrt{n}}|\mu ={\mu }_0+\delta \right)=1-\Phi \left(\frac{z_{\alpha }\sigma /\sqrt{n}-\delta }{\sigma /\sqrt{n}}\right)=\Phi \left(\frac{\delta \sqrt{n}}{\sigma }-z_{\alpha }\right)$

要求 $\Phi \left(\frac{\delta \sqrt{n}}{\sigma }-z_{\alpha }\right)\ge 0.9$：

$\frac{\delta \sqrt{n}}{\sigma }-z_{\alpha }\ge z_{0.1}=1.282$

$n\ge \frac{(z_{\alpha }+1.282{)}^2{\sigma }^2}{{\delta }^2}$