统计量

1. 统计量的定义

1.1 定义

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 为来自总体 $X$ 的样本，$g(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 是一个 $n$ 元函数，若 $g$ 中不包含任何未知参数，则称 $g(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 为一个统计量。

1.2 统计量的特点

1. 统计量是样本的函数，不含未知参数
2. 统计量是随机变量
3. 统计量的分布称为抽样分布

1.3 为什么要求不含未知参数

统计量是用于推断未知参数的，如果统计量本身含有未知参数，就无法从样本数据中计算出统计量的值，也就无法进行推断。

2. 样本均值

2.1 定义

$\bar{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$

称为样本均值。

2.2 样本均值的性质

设 $E(X)=\mu$，$D(X)={\sigma }^2$，则：

1. $E(\bar{X})=\mu$（无偏性）

2. $D(\bar{X})=\frac{{\sigma }^2}{n}$

3. 由中心极限定理，当 $n$ 较大时，$\bar{X}$ 近似服从 $N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)$

4. 若总体 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则 $\bar{X}\sim N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)$（精确分布）

2.3 样本均值的计算

未分组数据：$\bar{x}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{x}_i$

分组数据：$\bar{x}=\frac{{\sum }_{j=1}^k{f}_j{x}_j}{{\sum }_{j=1}^k{f}_j}$

其中 $f_j$ 为第 $j$ 组的频数，$x_j$ 为第 $j$ 组的组中值。

3. 样本方差

3.1 定义

$S^2=\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$

称为样本方差（无偏版本）。

$S=\sqrt{S^2}=\sqrt{\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2}$

称为样本标准差。

3.2 为什么除以 $n-1$ 而不是 $n$

$E(S^2)=E\left[\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2\right]={\sigma }^2$

除以 $n-1$ 使得 $S^2$ 是 ${\sigma }^2$ 的无偏估计。

若除以 $n$，则 $E\left[\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2\right]=\frac{n-1}{n}{\sigma }^2<{\sigma }^2$，是有偏的。

3.3 样本方差的计算公式

$S^2=\frac{1}{n-1}\left({\sum }_{i=1}^n{X}_i^2-n{\bar{X}}^2\right)=\frac{n\sum X_i^2-(\sum X_i{)}^2}{n(n-1)}$

3.4 样本方差的性质

设 $E(X)=\mu$，$D(X)={\sigma }^2$，则：

1. $E(S^2)={\sigma }^2$（无偏性）

2. 当总体 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ 时，$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$

3. $\bar{X}$ 与 $S^2$ 独立（正态总体时）

4. 样本矩

4.1 样本 $k$ 阶原点矩

$A_k=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i^k,k=1,2,\cdots$

特别地，$A_1=\bar{X}$。

4.2 样本 $k$ 阶中心矩

$B_k=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^k,k=2,3,\cdots$

注意：$B_2=\frac{n-1}{n}{S}^2$。

4.3 样本矩与总体矩的关系

由大数定律，当 $n\to \infty$ 时：

$A_k\stackrel{P}{\to }E(X^k)={\mu }_k$

$B_k\stackrel{P}{\to }E[X-E(X){]}^k={\nu }_k$

5. 其他常用统计量

5.1 样本极差

$R=X_{(n)}-X_{(1)}=\max (X_i)-\min (X_i)$

5.2 样本中位数

$M_e=\{\begin{array}{ll}{X}_{\left(\frac{n+1}{2}\right)},& n\text{ 为奇数}\\ \frac{1}{2}\left[X_{\left(\frac{n}{2}\right)}+X_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}\right],& n\text{ 为偶数}\end{array}$

5.3 样本 $p$ 分位数

$m_p=\{\begin{array}{ll}{X}_{([np]+1)},& np\text{ 不是整数}\\ \frac{1}{2}(X_{(np)}+X_{(np+1)}),& np\text{ 是整数}\end{array}$

5.4 变异系数

$CV=\frac{S}{\bar{X}}$

5.5 偏度与峰度

样本偏度：

$g_1=\frac{B_3}{B_2^{3/2}}$

样本峰度：

$g_2=\frac{B_4}{B_2^2}-3$

6. 次序统计量

6.1 定义

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 为样本，将其按从小到大排列为

$X_{(1)}\le X_{(2)}\le \cdots \le X_{(n)}$

则 $X_{(k)}$ 称为第 $k$ 个次序统计量。

6.2 次序统计量的分布

设总体 $X$ 的分布函数为 $F(x)$，密度函数为 $f(x)$，则

$f_{X_{(k)}}(x)=\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}[F(x){]}^{k-1}[1-F(x){]}^{n-k}f(x)$

特别地：

$f_{X_{(1)}}(x)=n[1-F(x){]}^{n-1}f(x)$

$f_{X_{(n)}}(x)=n[F(x){]}^{n-1}f(x)$