卡方检验

1. 单总体方差的 χ² 检验

1.1 适用条件

总体 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，检验 ${\sigma }^2$ 是否等于某给定值。

1.2 检验步骤

假设：

• 双侧：$H_0:{\sigma }^2={\sigma }_0^2$，$H_1:{\sigma }^2\ne {\sigma }_0^2$
• 右侧：$H_0:{\sigma }^2\le {\sigma }_0^2$，$H_1:{\sigma }^2>{\sigma }_0^2$
• 左侧：$H_0:{\sigma }^2\ge {\sigma }_0^2$，$H_1:{\sigma }^2<{\sigma }_0^2$

检验统计量：

${\chi }^2=\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }_0^2}\sim {\chi }^2(n-1)$

拒绝域：

1.3 示例

例题：某零件直径服从正态分布，标准差规定不超过 0.05mm。现抽取 10 件，测得 $s=0.06$mm。在 $\alpha =0.05$ 下检验标准差是否超标。

解：

$H_0:{\sigma }^2\le 0.0025$，$H_1:{\sigma }^2>0.0025$

${\chi }^2=\frac{9\times 0.0036}{0.0025}=12.96$

${\chi }_{0.05}^2(9)=16.919$，${\chi }^2=12.96<16.919$，不拒绝 $H_0$。

标准差未显著超标。

2. 拟合优度检验

2.1 问题

检验总体分布是否与某个理论分布吻合。

2.2 方法

设总体 $X$ 的取值分为 $k$ 个类别，理论概率为 $p_1,p_2,\cdots ,p_k$（$\sum p_i=1$），观测频数为 $n_1,n_2,\cdots ,n_k$（$\sum n_i=n$），理论频数为 $n{p}_1,n{p}_2,\cdots ,n{p}_k$。

检验统计量：

${\chi }^2={\sum }_{i=1}^k\frac{(n_i-n{p}_i{)}^2}{n{p}_i}$

在 $H_0$ 成立且 $n$ 充分大时，${\chi }^2$ 近似服从 ${\chi }^2(k-1-r)$，其中 $r$ 为需要估计的参数个数。

拒绝域：${\chi }^2>{\chi }_{\alpha }^2(k-1-r)$

2.3 使用条件

• 每个类别的理论频数 $n{p}_i\ge 5$
• 若有 $n{p}_i<5$ 的类别，需合并相邻类别

2.4 示例

例题：掷一颗骰子 120 次，结果如下：

在 $\alpha =0.05$ 下检验骰子是否均匀。

解：$H_0$: 骰子均匀（$p_i=1/6$），$H_1$: 骰子不均匀。

理论频数 $n{p}_i=20$。

${\chi }^2=\frac{(23-20{)}^2}{20}+\frac{(16-20{)}^2}{20}+\frac{(18-20{)}^2}{20}+\frac{(25-20{)}^2}{20}+\frac{(22-20{)}^2}{20}+\frac{(16-20{)}^2}{20}$

$=\frac{9}{20}+\frac{16}{20}+\frac{4}{20}+\frac{25}{20}+\frac{4}{20}+\frac{16}{20}=\frac{74}{20}=3.7$

${\chi }_{0.05}^2(5)=11.071$，${\chi }^2=3.7<11.071$，不拒绝 $H_0$。

骰子是均匀的。

3. 独立性检验

3.1 问题

检验两个分类变量是否独立。

3.2 方法

设两个分类变量分别有 $r$ 个和 $c$ 个水平，构成 $r\times c$ 列联表。

假设：$H_0$: 两变量独立，$H_1$: 两变量不独立

理论频数：

$e_{ij}=\frac{n_{i\cdot }\times n_{\cdot j}}{n}$

检验统计量：

${\chi }^2={\sum }_{i=1}^r{\sum }_{j=1}^c\frac{(n_{ij}-e_{ij}{)}^2}{e_{ij}}$

近似服从 ${\chi }^2((r-1)(c-1))$。

拒绝域：${\chi }^2>{\chi }_{\alpha }^2((r-1)(c-1))$

3.3 示例

例题：调查 200 人的性别与是否喜欢某产品的态度：

在 $\alpha =0.05$ 下检验性别与态度是否独立。

解：

$e_{11}=\frac{100\times 110}{200}=55$，$e_{12}=45$，$e_{21}=55$，$e_{22}=45$。

${\chi }^2=\frac{(40-55{)}^2}{55}+\frac{(60-45{)}^2}{45}+\frac{(70-55{)}^2}{55}+\frac{(30-45{)}^2}{45}$

$=\frac{225}{55}+\frac{225}{45}+\frac{225}{55}+\frac{225}{45}=4.091+5+4.091+5=18.182$

${\chi }_{0.05}^2(1)=3.841$，${\chi }^2=18.182>3.841$，拒绝 $H_0$。

性别与态度不独立，存在显著关联。

4. χ² 检验汇总