离散型随机变量

1. 随机变量的概念

1.1 随机变量的定义

设 $\Omega$ 为样本空间，若对每个 $\omega \in \Omega$，都有一个实数 $X(\omega )$ 与之对应，且对任意实数 $x$，$\{\omega \mid X(\omega )\le x\}$ 是一个事件，则称 $X$ 为随机变量。

随机变量用大写字母 $X,Y,Z$ 等表示，其取值用小写字母 $x,y,z$ 等表示。

1.2 随机变量的分类

• 离散型随机变量：取值为有限个或可列无限个
• 连续型随机变量：取值充满某个区间
• 混合型随机变量：既有离散部分又有连续部分

2. 离散型随机变量的分布律

2.1 分布律的定义

设离散型随机变量 $X$ 的所有可能取值为 $x_1,x_2,\cdots$，则称

$P(X=x_k)=p_k,k=1,2,\cdots$

为 $X$ 的分布律（或概率分布）。

分布律也可以用表格表示：

2.2 分布律的性质

1. 非负性：$p_k\ge 0$（$k=1,2,\cdots$）
2. 规范性：${\sum }_{k=1}^{\infty }{p}_k=1$

3. 0-1 分布（伯努利分布）

3.1 定义

若随机变量 $X$ 只取 0 和 1 两个值，且

$P(X=1)=p,P(X=0)=1-p(0<p<1)$

则称 $X$ 服从参数为 $p$ 的 0-1 分布（伯努利分布），记作 $X\sim B(1,p)$ 或 $X\sim \text{Bernoulli}(p)$。

3.2 应用场景

0-1 分布描述一次伯努利试验的结果：

• 抛硬币：正面（1）或反面（0）
• 产品检验：合格（1）或不合格（0）
• 命中检测：命中（1）或未命中（0）

4. 二项分布

4.1 定义

若随机变量 $X$ 的分布律为

$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,2,\cdots ,n$

则称 $X$ 服从参数为 $n,p$ 的二项分布，记作 $X\sim B(n,p)$。

4.2 背景

二项分布描述 $n$ 重伯努利试验中成功次数的分布。设每次试验成功的概率为 $p$，独立重复 $n$ 次试验，成功次数 $X\sim B(n,p)$。

4.3 性质

1. 最可能值：使 $P(X=k)$ 最大的 $k$ 值，记作 $k_0$。

   • 若 $(n+1)p$ 不是整数，则 $k_0=\lfloor (n+1)p\rfloor$
   • 若 $(n+1)p$ 是整数，则 $k_0=(n+1)p$ 和 $k_0=(n+1)p-1$ 都是最大值点

2. 期望与方差：$E(X)=np$，$D(X)=np(1-p)$

3. 可加性：若 $X\sim B(n_1,p)$，$Y\sim B(n_2,p)$，且 $X$ 与 $Y$ 独立，则 $X+Y\sim B(n_1+n_2,p)$

4.4 二项分布的计算

例题：某批产品次品率为 0.05，从中任取 10 件，求恰好有 2 件次品的概率。

解：设 $X$ 为次品数，$X\sim B(10,0.05)$。

$P(X=2)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2}\right)(0.05{)}^2(0.95{)}^8=45\times 0.0025\times 0.6634\approx 0.0746$

5. 泊松分布

5.1 定义

若随机变量 $X$ 的分布律为

$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!},k=0,1,2,\cdots$

其中 $\lambda >0$ 为常数，则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，记作 $X\sim P(\lambda )$ 或 $X\sim \pi (\lambda )$。

5.2 泊松分布的应用

泊松分布描述在单位时间（或单位面积、单位体积等）内稀有事件发生次数的分布：

• 单位时间内电话交换台的呼叫次数
• 单位面积上的疵点数
• 单位时间内放射性物质发射的粒子数
• 某路口单位时间内通过的车辆数

5.3 泊松分布的性质

1. 期望与方差：$E(X)=\lambda$，$D(X)=\lambda$

2. 可加性：若 $X\sim P({\lambda }_1)$，$Y\sim P({\lambda }_2)$，且 $X$ 与 $Y$ 独立，则 $X+Y\sim P({\lambda }_1+{\lambda }_2)$

3. 最可能值：

   • 若 $\lambda$ 不是整数，$k_0=\lfloor \lambda \rfloor$
   • 若 $\lambda$ 是整数，$k_0=\lambda$ 和 $k_0=\lambda -1$ 都是最大值点

5.4 泊松定理（泊松近似）

设 $\lambda >0$，$n$ 为正整数，$n{p}_n=\lambda$，则对任意非负整数 $k$，有

${\lim }_{n\to \infty }\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p_n^k(1-p_n{)}^{n-k}=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}$

应用：当 $n$ 较大、$p$ 较小（一般 $n\ge 20,p\le 0.05$）时，可用泊松分布近似二项分布：

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}\approx \frac{(np{)}^k{e}^{-np}}{k!}$

5.5 泊松近似计算

例题：某工厂有 300 台同类型设备，各台设备独立工作，每台发生故障的概率为 0.01。求至少有 2 台设备同时发生故障的概率。

解：设 $X$ 为发生故障的设备数，$X\sim B(300,0.01)$。

由于 $n=300$ 较大，$p=0.01$ 较小，用泊松近似，$\lambda =np=3$。

$P(X\ge 2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-e^{-3}-3e^{-3}=1-4e^{-3}\approx 1-0.1991=0.8009$

6. 其他离散分布

6.1 几何分布

若随机变量 $X$ 的分布律为

$P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p,k=1,2,3,\cdots$

则称 $X$ 服从参数为 $p$ 的几何分布，记作 $X\sim G(p)$。

含义：在独立伯努利试验序列中，首次成功所需的试验次数。

无记忆性：$P(X>m+n\mid X>m)=P(X>n)$

6.2 超几何分布

若随机变量 $X$ 的分布律为

$P(X=k)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{M}{k}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-M}{n-k}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n}\right)},k=0,1,\cdots ,\min (M,n)$

则称 $X$ 服从参数为 $N,M,n$ 的超几何分布，记作 $X\sim H(N,M,n)$。

含义：从含 $M$ 个次品的 $N$ 件产品中不放回地取 $n$ 件，其中次品数的分布。

当 $N\to \infty$ 且 $\frac{M}{N}\to p$ 时，超几何分布近似于二项分布 $B(n,p)$。