和的分布与极值分布

1. 随机变量和的分布

1.1 离散型情形

设 $X$ 和 $Y$ 为独立离散型随机变量，分布律分别为 $P(X=x_i)$ 和 $P(Y=y_j)$，则 $Z=X+Y$ 的分布律为

$P(Z=z_k)={\sum }_{x_i+y_j=z_k}P(X=x_i)P(Y=y_j)={\sum }_{i}P(X=x_i)P(Y=z_k-x_i)$

1.2 连续型情形——卷积公式

设 $X$ 和 $Y$ 为独立连续型随机变量，密度函数分别为 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$，则 $Z=X+Y$ 的密度函数为

$f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(x)f_Y(z-x)dx={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(z-y)f_Y(y)dy$

这称为卷积公式，记作 $f_Z=f_X\ast f_Y$。

1.3 卷积公式的推导

$F_Z(z)=P(X+Y\le z)={\iint }_{x+y\le z}{f}_X(x)f_Y(y)dxdy={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(x)\left[{\int }_{-\infty }^{z-x}{f}_Y(y)dy\right]dx$

$={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(x)F_Y(z-x)dx$

$f_Z(z)=\frac{d}{dz}{F}_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(x)f_Y(z-x)dx$

1.4 卷积公式的应用

例题：设 $X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$，$Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$，且 $X$ 与 $Y$ 独立，求 $Z=X+Y$ 的分布。

解：利用卷积公式可以证明 $Z\sim N({\mu }_1+{\mu }_2,{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2)$。

更一般地，若 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 相互独立，$X_i\sim N({\mu }_i,{\sigma }_i^2)$，则

${\sum }_{i=1}^n{a}_i{X}_i\sim N\left({\sum }_{i=1}^n{a}_i{\mu }_i,{\sum }_{i=1}^n{a}_i^2{\sigma }_i^2\right)$

例题：设 $X\sim \text{Exp}({\lambda }_1)$，$Y\sim \text{Exp}({\lambda }_2)$，且 $X$ 与 $Y$ 独立（${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$），求 $Z=X+Y$ 的密度。

解：

$f_Z(z)={\int }_0^z{\lambda }_1{e}^{-{\lambda }_{1}x}\cdot {\lambda }_2{e}^{-{\lambda }_2(z-x)}dx={\lambda }_1{\lambda }_2{e}^{-{\lambda }_{2}z}{\int }_0^z{e}^{({\lambda }_2-{\lambda }_1)x}dx$

$={\lambda }_1{\lambda }_2{e}^{-{\lambda }_{2}z}\cdot \frac{e^{({\lambda }_2-{\lambda }_1)z}-1}{{\lambda }_2-{\lambda }_1}=\frac{{\lambda }_1{\lambda }_2}{{\lambda }_2-{\lambda }_1}(e^{-{\lambda }_{1}z}-e^{-{\lambda }_{2}z}),z>0$

当 ${\lambda }_1={\lambda }_2=\lambda$ 时，$Z\sim \Gamma (2,\lambda )$。

2. 随机变量差的分布

设 $X$ 和 $Y$ 独立，$Z=X-Y$，则

$f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(x)f_Y(x-z)dx={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(y+z)f_Y(y)dy$

3. 随机变量商的分布

3.1 商的密度公式

设 $X$ 和 $Y$ 为独立连续型随机变量，$Z=\frac{X}{Y}$，则

$f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }|y|f_X(zy)f_Y(y)dy$

3.2 推导

$F_Z(z)=P\left(\frac{X}{Y}\le z\right)={\iint }_{x/y\le z}{f}_X(x)f_Y(y)dxdy$

$={\int }_0^{+\infty }{F}_X(zy)f_Y(y)dy+{\int }_{-\infty }^0[1-F_X(zy)]f_Y(y)dy$

对 $z$ 求导即得商的密度公式。

4. 最大值分布

4.1 公式

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 相互独立，分布函数分别为 $F_1,F_2,\cdots ,F_n$，则 $M=\max (X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 的分布函数为

$F_M(x)=P(M\le x)=P(X_1\le x,X_2\le x,\cdots ,X_n\le x)={\prod }_{i=1}^n{F}_i(x)$

若 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 独立同分布，分布函数为 $F(x)$，则

$F_M(x)=[F(x){]}^n$

4.2 密度函数

若 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 独立同分布，密度为 $f(x)$，则

$f_M(x)=n[F(x){]}^{n-1}f(x)$

5. 最小值分布

5.1 公式

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 相互独立，分布函数分别为 $F_1,F_2,\cdots ,F_n$，则 $N=\min (X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 的分布函数为

$F_N(x)=1-P(N>x)=1-{\prod }_{i=1}^{n}P(X_i>x)=1-{\prod }_{i=1}^n[1-F_i(x)]$

若 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 独立同分布，分布函数为 $F(x)$，则

$F_N(x)=1-[1-F(x){]}^n$

5.2 密度函数

若 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 独立同分布，密度为 $f(x)$，则

$f_N(x)=n[1-F(x){]}^{n-1}f(x)$

6. 极值分布的应用

6.1 系统可靠性

串联系统：$n$ 个元件串联，系统寿命 $T=\min (T_1,T_2,\cdots ,T_n)$

并联系统：$n$ 个元件并联，系统寿命 $T=\max (T_1,T_2,\cdots ,T_n)$

6.2 指数分布的极值

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 独立同分布，$X_i\sim \text{Exp}(\lambda )$，则

$F_{\min }(x)=1-e^{-n\lambda x},x>0$

即 $\min (X_1,\cdots ,X_n)\sim \text{Exp}(n\lambda )$。

6.3 均匀分布的极值

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 独立同分布，$X_i\sim U(0,1)$，则

$f_{\max }(x)=n{x}^{n-1},0<x<1$

$f_{\min }(x)=n(1-x{)}^{n-1},0<x<1$