正态总体参数的区间估计

1. 单正态总体均值的区间估计

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，置信水平 $1-\alpha$。

1.1 σ 已知

枢轴量：$Z=\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$

$P\left(-z_{\alpha /2}<\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}<z_{\alpha /2}\right)=1-\alpha$

$\mu$ 的置信区间：

$\left(\bar{X}-z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}},\bar{X}+z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\right)$

区间宽度：$2z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$

1.2 σ 未知

枢轴量：$T=\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$

$\mu$ 的置信区间：

$\left(\bar{X}-t_{\alpha /2}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}},\bar{X}+t_{\alpha /2}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}}\right)$

1.3 示例

例题：从某批零件中抽取 9 件，测得长度（mm）为：21.1, 21.3, 21.4, 21.5, 21.3, 21.7, 21.4, 21.3, 21.6。设零件长度服从正态分布，求总体均值 $\mu$ 的 $95\%$ 置信区间。

解：$n=9$，$\bar{x}=21.4$，$s=0.187$。

$\sigma$ 未知，用 $t$ 分布。$t_{0.025}(8)=2.306$。

$\left(21.4-2.306\times \frac{0.187}{3},21.4+2.306\times \frac{0.187}{3}\right)=(21.256,21.544)$

2. 单正态总体方差的区间估计

2.1 枢轴量

${\chi }^2=\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$

2.2 置信区间

$P\left({\chi }_{1-\alpha /2}^2(n-1)<\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}<{\chi }_{\alpha /2}^2(n-1)\right)=1-\alpha$

${\sigma }^2$ 的置信区间：

$\left(\frac{(n-1)S^2}{{\chi }_{\alpha /2}^2(n-1)},\frac{(n-1)S^2}{{\chi }_{1-\alpha /2}^2(n-1)}\right)$

$\sigma$ 的置信区间：

$\left(\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{{\chi }_{\alpha /2}^2(n-1)}},\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{{\chi }_{1-\alpha /2}^2(n-1)}}\right)$

2.3 示例

例题：设 $n=16$，$s^2=4$，求 ${\sigma }^2$ 的 $95\%$ 置信区间。

解：${\chi }_{0.025}^2(15)=27.488$，${\chi }_{0.975}^2(15)=6.262$。

$\left(\frac{15\times 4}{27.488},\frac{15\times 4}{6.262}\right)=(2.183,9.583)$

3. 双正态总体均值差的区间估计

设 $X_1,\cdots ,X_{n_1}\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$，$Y_1,\cdots ,Y_{n_2}\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$，两样本独立。

3.1 σ₁² 和 σ₂² 已知

$\left((\bar{X}-\bar{Y})-z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{n_1}+\frac{{\sigma }_2^2}{n_2}},(\bar{X}-\bar{Y})+z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{n_1}+\frac{{\sigma }_2^2}{n_2}}\right)$

3.2 σ₁² = σ₂² = σ² 未知

$\left((\bar{X}-\bar{Y})-t_{\alpha /2}(n_1+n_2-2)S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}},(\bar{X}-\bar{Y})+t_{\alpha /2}(n_1+n_2-2)S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}\right)$

其中 $S_w^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}$。

3.3 σ₁² ≠ σ₂² 且未知（近似）

当 $n_1,n_2$ 较大时，可用

$\left((\bar{X}-\bar{Y})-z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}},(\bar{X}-\bar{Y})+z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}}\right)$

4. 双正态总体方差比的区间估计

4.1 枢轴量

$F=\frac{S_1^2/{\sigma }_1^2}{S_2^2/{\sigma }_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)$

4.2 置信区间

$\left(\frac{S_1^2}{S_2^2}\cdot \frac{1}{F_{\alpha /2}(n_1-1,n_2-1)},\frac{S_1^2}{S_2^2}\cdot F_{\alpha /2}(n_2-1,n_1-1)\right)$

5. 非正态总体参数的区间估计

5.1 大样本方法

当 $n$ 较大时，由中心极限定理：

$\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\stackrel{\text{近似}}{\sim }N(0,1)$

$\mu$ 的近似置信区间：

$\left(\bar{X}-z_{\alpha /2}\frac{S}{\sqrt{n}},\bar{X}+z_{\alpha /2}\frac{S}{\sqrt{n}}\right)$

5.2 比例的区间估计

设 $X\sim B(n,p)$，$\hat{p}=X/n$，当 $n$ 较大时：

$\frac{\hat{p}-p}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}}\stackrel{\text{近似}}{\sim }N(0,1)$

$p$ 的近似置信区间：

$\left(\hat{p}-z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},\hat{p}+z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right)$

6. 区间估计汇总表