分布函数

1. 分布函数的定义

1.1 定义

设 $X$ 是一个随机变量，$x$ 是任意实数，函数

$F(x)=P(X\le x)$

称为 $X$ 的分布函数（或累积分布函数，Cumulative Distribution Function，CDF）。

分布函数完整地描述了随机变量的概率分布规律。

1.2 分布函数的意义

分布函数 $F(x)$ 表示随机变量 $X$ 取值不超过 $x$ 的概率。对于任意实数 $x_1<x_2$：

$P(x_1<X\le x_2)=F(x_2)-F(x_1)$

因此，知道了分布函数，就能计算 $X$ 落在任意区间内的概率。

2. 分布函数的性质

2.1 基本性质

1. 单调不减：若 $x_1<x_2$，则 $F(x_1)\le F(x_2)$

2. 有界性：$0\le F(x)\le 1$

3. 边界值：

$F(-\infty )={\lim }_{x\to -\infty }F(x)=0,F(+\infty )={\lim }_{x\to +\infty }F(x)=1$

4. 右连续：$F(x^{+})=F(x)$，即 ${\lim }_{t\to x^{+}}F(t)=F(x)$

2.2 由分布函数计算概率

1. $P(X\le x)=F(x)$

2. $P(X>x)=1-F(x)$

3. $P(x_1<X\le x_2)=F(x_2)-F(x_1)$

4. $P(X=x)=F(x)-F(x^{-})$（$F(x^{-})$ 为 $F$ 在 $x$ 处的左极限）

5. $P(X<x)=F(x^{-})$

6. $P(x_1\le X\le x_2)=F(x_2)-F(x_1^{-})$

7. $P(x_1<X<x_2)=F(x_2^{-})-F(x_1)$

2.3 分布函数与概率的对应

分布函数的跳跃点对应离散型随机变量的取值点，跳跃高度等于该点的概率：

$P(X=x_0)=F(x_0)-F(x_0^{-})$

• 若 $F$ 在 $x_0$ 处连续，则 $P(X=x_0)=0$
• 若 $F$ 在 $x_0$ 处有跳跃，则 $P(X=x_0)>0$

3. 离散型随机变量的分布函数

3.1 构造方法

设离散型随机变量 $X$ 的分布律为 $P(X=x_k)=p_k$（$k=1,2,\cdots$），则

$F(x)={\sum }_{x_k\le x}{p}_k$

3.2 特征

离散型随机变量的分布函数是阶梯函数：

• 在每个取值点 $x_k$ 处有跳跃，跳跃高度为 $p_k$
• 在相邻取值点之间为常数

3.3 示例

设 $X$ 的分布律为：

则分布函数为：

$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0\\ 0.3,& 0\le x<1\\ 0.8,& 1\le x<2\\ 1,& x\ge 2\end{array}$

4. 连续型随机变量的分布函数

4.1 与密度函数的关系

若 $X$ 为连续型随机变量，密度函数为 $f(x)$，则

$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$

且在 $f(x)$ 的连续点处

$F^{\prime }(x)=f(x)$

4.2 特征

连续型随机变量的分布函数是连续函数，且在密度函数连续处可导。

4.3 示例

设 $X\sim U(0,1)$，则

$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0\\ x,& 0\le x<1\\ 1,& x\ge 1\end{array}$

5. 分布函数的判定

5.1 判定准则

一个函数 $F(x)$ 是某个随机变量的分布函数，当且仅当满足以下条件：

1. 单调不减
2. $F(-\infty )=0$，$F(+\infty )=1$
3. 右连续

5.2 常见错误

• 左连续而非右连续的函数不是分布函数
• 不满足单调性的函数不是分布函数
• 极限不为 0 和 1 的函数不是分布函数

6. 分布函数的应用

6.1 比较随机变量

若 $F_X(x)\ge F_Y(x)$ 对所有 $x$ 成立，则 $X$ 随机小于 $Y$，即 $X$ 倾向于取更小的值。

6.2 分位数

设 $F(x)$ 为随机变量 $X$ 的分布函数，对于 $0<p<1$，满足

$F(x_p)=p$

的 $x_p$ 称为 $X$ 的 $p$ 分位数（或下侧 $p$ 分位数）。

特别地：

• $x_{0.5}$：中位数
• $x_{0.25}$：下四分位数
• $x_{0.75}$：上四分位数

6.3 逆变换法生成随机数

若 $U\sim U(0,1)$，则 $X=F^{-1}(U)$ 的分布函数为 $F(x)$。

这是利用均匀随机数生成任意分布随机数的基本方法。

证明：

$P(X\le x)=P(F^{-1}(U)\le x)=P(U\le F(x))=F(x)$