多维随机变量典型例题

1. 联合分布与边缘分布

例题1

设 $(X,Y)$ 的联合密度为

$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-y},& 0<x<y<+\infty \\ 0,& \text{其他}\end{array}$

求边缘密度 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$。

解：

$f_X(x)={\int }_x^{+\infty }{e}^{-y}dy=e^{-x},x>0$

$f_Y(y)={\int }_0^y{e}^{-y}dx=y{e}^{-y},y>0$

例题2

设 $(X,Y)$ 的联合密度为

$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}8xy,& 0<x<y<1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$

求 $P(X+Y>1)$。

解：

$P(X+Y>1)={\int }_{1/2}^1{\int }_{1-x}^{1}8xydydx+{\int }_0^{1/2}{\int }_{1-x}^{1}8xydydx$

实际上，$X+Y>1$ 在三角形 $0<x<y<1$ 中的区域为：

$P(X+Y>1)={\int }_{1/2}^1{\int }_{1-y}^{y}8xydxdy={\int }_{1/2}^{1}8y\cdot \frac{y^2-(1-y{)}^2}{2}dy$

$={\int }_{1/2}^{1}4y(2y-1)dy={\int }_{1/2}^1(8y^2-4y)dy={\left[\frac{8y^3}{3}-2y^2\right]}_{1/2}^1=\frac{8}{3}-2-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}$

2. 条件分布

例题3

设 $(X,Y)$ 的联合密度为

$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}1,& 0<x<1,0<y<1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$

求条件密度 $f_{X\mid Y}(x\mid y)$ 和 $E(X\mid Y=y)$。

解：$f_Y(y)=1$（$0<y<1$），故

$f_{X\mid Y}(x\mid y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}=1,0<x<1$

即在 $Y=y$ 条件下，$X\sim U(0,1)$，$E(X\mid Y=y)=\frac{1}{2}$。

例题4

设 $(X,Y)$ 的联合密度为

$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}2e^{-2y},& 0<x<1,y>0\\ 0,& \text{其他}\end{array}$

求 $P(X>0.5\mid Y=1)$。

解：

$f_Y(y)={\int }_0^{1}2e^{-2y}dx=2e^{-2y},y>0$

$f_{X\mid Y}(x\mid y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}=1,0<x<1$

$P(X>0.5\mid Y=1)={\int }_{0.5}^{1}1dx=0.5$

3. 独立性判定

例题5

设 $(X,Y)$ 的联合密度为

$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{3}{2}x,& 0<x<1,-x<y<x\\ 0,& \text{其他}\end{array}$

判断 $X$ 与 $Y$ 是否独立。

解：非零区域 $\{(x,y):0<x<1,-x<y<x\}$ 不是矩形，故 $X$ 与 $Y$ 不独立。

验证：

$f_X(x)={\int }_{-x}^x\frac{3}{2}xdy=3x^2,0<x<1$

$f_Y(y)={\int }_{|y|}^1\frac{3}{2}xdx=\frac{3}{4}(1-y^2),-1<y<1$

$f_X(x)f_Y(y)=3x^2\cdot \frac{3}{4}(1-y^2)=\frac{9x^2(1-y^2)}{4}\ne \frac{3}{2}x$

例题6

设 $(X,Y)$ 的联合分布律为：

判断 $X$ 与 $Y$ 是否独立。

解：$P(X=0)=\frac{1}{4}$，$P(Y=0)=\frac{1}{4}$，但 $P(X=0,Y=0)=0\ne \frac{1}{16}$，故不独立。

4. 和的分布

例题7

设 $X\sim U(0,1)$，$Y\sim U(0,1)$，且 $X$ 与 $Y$ 独立，求 $Z=X+Y$ 的密度。

解：

$f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(x)f_Y(z-x)dx$

当 $0<z<1$ 时：$f_Z(z)={\int }_0^{z}1\cdot 1dx=z$

当 $1\le z<2$ 时：$f_Z(z)={\int }_{z-1}^{1}1\cdot 1dx=2-z$

$f_Z(z)=\{\begin{array}{ll}z,& 0<z<1\\ 2-z,& 1\le z<2\\ 0,& \text{其他}\end{array}$

例题8

设 $X\sim P({\lambda }_1)$，$Y\sim P({\lambda }_2)$，且 $X$ 与 $Y$ 独立，证明 $Z=X+Y\sim P({\lambda }_1+{\lambda }_2)$。

证明：

$P(Z=k)={\sum }_{i=0}^{k}P(X=i)P(Y=k-i)={\sum }_{i=0}^k\frac{{\lambda }_1^i{e}^{-{\lambda }_1}}{i!}\cdot \frac{{\lambda }_2^{k-i}{e}^{-{\lambda }_2}}{(k-i)!}$

$=\frac{e^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)}}{k!}{\sum }_{i=0}^k\frac{k!}{i!(k-i)!}{\lambda }_1^i{\lambda }_2^{k-i}=\frac{({\lambda }_1+{\lambda }_2{)}^k{e}^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)}}{k!}$

故 $Z\sim P({\lambda }_1+{\lambda }_2)$。

5. 极值分布

例题9

设系统由 5 个独立工作的元件并联而成，每个元件的寿命 $T_i\sim \text{Exp}(0.1)$（单位：小时），求系统寿命超过 20 小时的概率。

解：并联系统寿命 $T=\max (T_1,T_2,\cdots ,T_5)$。

$P(T>20)=1-P(T\le 20)=1-[P(T_1\le 20){]}^5=1-(1-e^{-2}{)}^5$

$=1-(1-0.1353{)}^5=1-0.8647^5\approx 1-0.4833=0.5167$

例题10

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 独立同分布，$X_i\sim U(0,1)$，求 $M=\max (X_1,\cdots ,X_n)$ 和 $N=\min (X_1,\cdots ,X_n)$ 的密度函数。

解：

$F_M(x)=x^n,f_M(x)=n{x}^{n-1},0<x<1$

$F_N(x)=1-(1-x{)}^n,f_N(x)=n(1-x{)}^{n-1},0<x<1$

6. 综合题

例题11

设 $(X,Y)$ 的联合密度为

$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}2,& 0<y<x<1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$

求 $Z=X-Y$ 的密度函数。

解：$Z$ 的取值范围为 $(0,1)$。

$F_Z(z)=P(X-Y\le z)={\iint }_{x-y\le z}f(x,y)dxdy$

当 $0<z<1$ 时：

$P(X-Y>z)={\int }_z^1{\int }_0^{x-z}2dydx={\int }_z^{1}2(x-z)dx=(1-z{)}^2$

$F_Z(z)=1-(1-z{)}^2$

$f_Z(z)=2(1-z),0<z<1$

例题12

设 $X$ 与 $Y$ 独立，$X\sim \text{Exp}(1)$，$Y\sim \text{Exp}(1)$，求 $Z=\frac{X}{X+Y}$ 的分布。

解：令 $U=X+Y$，$V=\frac{X}{X+Y}$，则 $X=UV$，$Y=U(1-V)$。

Jacobian 行列式为 $|J|=u$。

联合密度：

$f_{U,V}(u,v)=f_X(uv)f_Y(u(1-v))\cdot u=e^{-uv}\cdot e^{-u(1-v)}\cdot u=u{e}^{-u},u>0,0<v<1$

$f_V(v)={\int }_0^{+\infty }u{e}^{-u}du=1,0<v<1$

故 $Z\sim U(0,1)$。

例题13

设 $(X,Y)$ 服从区域 $D=\{(x,y):x^2+y^2\le 1\}$ 上的均匀分布，判断 $X$ 与 $Y$ 是否独立。

解：

$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\pi },& x^2+y^2\le 1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$

$f_X(x)={\int }_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\frac{1}{\pi }dy=\frac{2\sqrt{1-x^2}}{\pi },-1<x<1$

同理 $f_Y(y)=\frac{2\sqrt{1-y^2}}{\pi }$。

$f_X(x)f_Y(y)=\frac{4\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}}{{\pi }^2}\ne \frac{1}{\pi }$

故 $X$ 与 $Y$ 不独立。

例题14

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 独立同分布，$X_i\sim N(0,1)$，求 $Y={\sum }_{i=1}^n{X}_i^2$ 的分布。

解：每个 $X_i^2\sim {\chi }^2(1)$，由 ${\chi }^2$ 分布的可加性：

$Y={\sum }_{i=1}^n{X}_i^2\sim {\chi }^2(n)$

例题15

设 $X\sim N(0,1)$，$Y\sim N(0,1)$，且 $X$ 与 $Y$ 独立，求 $Z=\frac{X}{\sqrt{Y^2}}$ 的分布。

解：$Y^2\sim {\chi }^2(1)$，故 $Z=\frac{X}{\sqrt{Y^2/1}}=\frac{X}{|Y|}$。

由 $t$ 分布的定义，$\frac{X}{\sqrt{Y^2/1}}\sim t(1)$，即 $Z\sim t(1)$（柯西分布）。