常用分布

1. 六大常用分布总览

2. 二项分布 $B(n,p)$

2.1 完整定义

$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,2,\cdots ,n$

2.2 矩母函数

$M_X(t)=(p{e}^t+1-p{)}^n$

2.3 特征函数

${\phi }_X(t)=(p{e}^{it}+1-p{)}^n$

2.4 与其他分布的关系

• 当 $n=1$ 时，退化为 0-1 分布
• 当 $n\to \infty ,p\to 0,np=\lambda$ 时，近似为泊松分布
• 当 $n$ 较大时，由中心极限定理，近似为正态分布 $N(np,np(1-p))$

2.5 典型应用

产品质量抽检、考试通过率、临床试验成功率等。

3. 泊松分布 $P(\lambda )$

3.1 完整定义

$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!},k=0,1,2,\cdots$

3.2 矩母函数

$M_X(t)=e^{\lambda (e^t-1)}$

3.3 特征函数

${\phi }_X(t)=e^{\lambda (e^{it}-1)}$

3.4 与其他分布的关系

• 泊松分布可由二项分布取极限得到
• 泊松过程中时间间隔服从指数分布
• 当 $\lambda$ 较大时，近似为正态分布 $N(\lambda ,\lambda )$

3.5 泊松过程

设 $\{N(t),t\ge 0\}$ 为计数过程，若满足：

1. $N(0)=0$
2. 独立增量
3. 对任意 $s,t>0$，$N(t+s)-N(s)\sim P(\lambda t)$

则称 $\{N(t)\}$ 为参数 $\lambda$ 的泊松过程。

4. 几何分布 $G(p)$

4.1 完整定义

$P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p,k=1,2,3,\cdots$

4.2 期望与方差的推导

$E(X)={\sum }_{k=1}^{\infty }k(1-p{)}^{k-1}p=p\cdot \frac{1}{p^2}=\frac{1}{p}$

$E(X^2)=\frac{2-p}{p^2},D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2=\frac{1-p}{p^2}$

4.3 无记忆性

$P(X>m+n\mid X>m)=P(X>n)$

几何分布是唯一具有无记忆性的取正整数值的离散分布。

4.4 变体

有时几何分布定义为首次成功前的失败次数：

$P(Y=k)=(1-p{)}^{k}p,k=0,1,2,\cdots$

此时 $Y=X-1$，$E(Y)=\frac{1-p}{p}$。

5. 均匀分布 $U(a,b)$

5.1 完整定义

$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a},& a\le x\le b\\ 0,& \text{其他}\end{array}$

5.2 矩母函数

$M_X(t)=\frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)},t\ne 0$

5.3 高阶矩

$E(X^n)=\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{(n+1)(b-a)}$

5.4 标准均匀分布

$U(0,1)$ 称为标准均匀分布，是随机数生成的基础。

6. 指数分布 $\text{Exp}(\lambda )$

6.1 完整定义

$f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$

6.2 矩母函数

$M_X(t)=\frac{\lambda }{\lambda -t},t<\lambda$

6.3 高阶矩

$E(X^n)=\frac{n!}{{\lambda }^n}$

6.4 无记忆性

$P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)$

6.5 与其他分布的关系

• 指数分布是伽马分布 $\Gamma (1,\lambda )$ 的特例
• $n$ 个独立同分布 $\text{Exp}(\lambda )$ 之和服从 $\Gamma (n,\lambda )$
• 指数分布与泊松过程密切相关

6.6 失效率函数

$h(x)=\frac{f(x)}{1-F(x)}=\frac{\lambda e^{-\lambda x}}{e^{-\lambda x}}=\lambda$

指数分布的失效率为常数，说明”旧的和新的一样”（无老化效应）。

7. 正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$

7.1 完整定义

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}},-\infty <x<+\infty$

7.2 矩母函数

$M_X(t)=e^{\mu t+\frac{{\sigma }^2{t}^2}{2}}$

7.3 特征函数

${\phi }_X(t)=e^{i\mu t-\frac{{\sigma }^2{t}^2}{2}}$

7.4 中心矩

对于 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$：

• 奇数阶中心矩为零：$E[(X-\mu {)}^{2k-1}]=0$
• 偶数阶中心矩：$E[(X-\mu {)}^{2k}]=(2k-1)!!\cdot {\sigma }^{2k}$

其中 $(2k-1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k-1)$。

7.5 标准正态分布表

常用值：

7.6 正态分布的重要性

1. 中心极限定理：大量独立随机因素综合作用的结果近似正态
2. 统计推断：许多统计方法基于正态假设
3. 误差分析：测量误差通常服从正态分布
4. 自然现象：大量自然现象近似正态

8. 分布之间的关系图

$\text{伯努利试验}\stackrel{n\text{ 次独立重复}}{\to }B(n,p)\stackrel{n\to \infty ,np\to \lambda }{\to }P(\lambda )\stackrel{\lambda \to \infty }{\to }N(\lambda ,\lambda )$

$B(n,p)\stackrel{n\to \infty }{\to }N(np,np(1-p))$

$\text{泊松过程}⟶P(\lambda t)\text{与}\text{Exp}(\lambda )$

$\text{Exp}(\lambda )\stackrel{n\text{ 个之和}}{\to }\Gamma (n,\lambda )$

$U(0,1)\stackrel{F^{-1}}{\to }\text{任意分布}$