数字特征典型例题

1. 数学期望

例题1

设 $X$ 的密度函数为 $f(x)=\frac{1}{2}{e}^{-|x|}$，求 $E(X)$ 和 $E(X^2)$。

解：

$E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }x\cdot \frac{1}{2}{e}^{-|x|}dx=0$（奇函数在对称区间上积分）

$E(X^2)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}^2\cdot \frac{1}{2}{e}^{-|x|}dx={\int }_0^{+\infty }{x}^2{e}^{-x}dx=\Gamma (3)=2$

例题2

设 $X\sim U(0,1)$，求 $E(X^n)$。

解：

$E(X^n)={\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{1}{n+1}$

例题3

某人有 $n$ 把钥匙，其中只有一把能开门。他随机取一把试开，不能开门则除去，求试开次数 $X$ 的期望。

解：$X$ 的分布律为 $P(X=k)=\frac{1}{n}$（$k=1,2,\cdots ,n$）。

$E(X)={\sum }_{k=1}^{n}k\cdot \frac{1}{n}=\frac{n+1}{2}$

2. 方差

例题4

设 $X$ 的密度为 $f(x)=\{\begin{array}{ll}3x^2,& 0<x<1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$，求 $D(X)$。

解：

$E(X)={\int }_0^{1}x\cdot 3x^{2}dx=\frac{3}{4}$

$E(X^2)={\int }_0^1{x}^2\cdot 3x^{2}dx=\frac{3}{5}$

$D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2=\frac{3}{5}-\frac{9}{16}=\frac{48-45}{80}=\frac{3}{80}$

例题5

设 $X\sim B(10,0.4)$，求 $E(3X+2)$ 和 $D(3X+2)$。

解：

$E(X)=10\times 0.4=4,D(X)=10\times 0.4\times 0.6=2.4$

$E(3X+2)=3E(X)+2=14$

$D(3X+2)=9D(X)=21.6$

例题6

设随机变量 $X$ 的期望 $E(X)=10$，$D(X)=4$，求 $E[(X+1{)}^2]$。

解：

$E[(X+1{)}^2]=E[X^2+2X+1]=E(X^2)+2E(X)+1$

$=[D(X)+E(X{)}^2]+2E(X)+1=(4+100)+20+1=125$

3. 协方差与相关系数

例题7

设 $(X,Y)$ 的联合密度为

$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}1,& 0<x<1,0<y<1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$

求 $\text{Cov}(X,Y)$ 和 ${\rho }_{XY}$。

解：$X$ 与 $Y$ 独立（非零区域为矩形，联合密度可分解），故 $\text{Cov}(X,Y)=0$，${\rho }_{XY}=0$。

例题8

设 $(X,Y)$ 的联合密度为

$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}2,& 0<y<x<1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$

求 $\text{Cov}(X,Y)$ 和 ${\rho }_{XY}$。

解：

$E(X)=\frac{2}{3},E(Y)=\frac{1}{3},E(XY)=\frac{1}{4}$

$\text{Cov}(X,Y)=\frac{1}{4}-\frac{2}{9}=\frac{1}{36}$

$E(X^2)={\int }_0^1{\int }_0^{x}2x^{2}dydx=\frac{1}{2},D(X)=\frac{1}{2}-\frac{4}{9}=\frac{1}{18}$

$E(Y^2)={\int }_0^1{\int }_y^{1}2y^{2}dxdy=\frac{1}{6},D(Y)=\frac{1}{6}-\frac{1}{9}=\frac{1}{18}$

${\rho }_{XY}=\frac{1/36}{\sqrt{1/18\times 1/18}}=\frac{1/36}{1/18}=\frac{1}{2}$

例题9

设 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho =0.5$，$D(X)=D(Y)=1$，求 $D(X-Y)$。

解：

$D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2\text{Cov}(X,Y)=1+1-2\times 0.5=1$

例题10

设 $X\sim N(0,1)$，$Y=X^2$，求 $\text{Cov}(X,Y)$。

解：

$E(X)=0,E(Y)=E(X^2)=1$

$E(XY)=E(X^3)=0$（正态分布的奇数阶矩为零）

$\text{Cov}(X,Y)=0-0=0$

$X$ 与 $Y$ 不相关，但 $Y=X^2$，显然不独立。

4. 综合题

例题11

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 独立同分布，$E(X_i)=\mu$，$D(X_i)={\sigma }^2$，设 $\bar{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$，求 $E(\bar{X})$ 和 $D(\bar{X})$。

解：

$E(\bar{X})=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^{n}E(X_i)=\mu$

$D(\bar{X})=\frac{1}{n^2}{\sum }_{i=1}^{n}D(X_i)=\frac{{\sigma }^2}{n}$

例题12

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 独立同分布，$E(X_i)=\mu$，$D(X_i)={\sigma }^2$，求 $E\left[{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2\right]$。

解：

${\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2={\sum }_{i=1}^n{X}_i^2-n{\bar{X}}^2$

$E\left[{\sum }_{i=1}^n{X}_i^2\right]=n({\mu }^2+{\sigma }^2)$

$E[n{\bar{X}}^2]=n[D(\bar{X})+E(\bar{X}{)}^2]=n\left(\frac{{\sigma }^2}{n}+{\mu }^2\right)={\sigma }^2+n{\mu }^2$

$E\left[{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2\right]=n({\mu }^2+{\sigma }^2)-{\sigma }^2-n{\mu }^2=(n-1){\sigma }^2$

例题13

设 $X$ 与 $Y$ 独立，$X\sim N(1,4)$，$Y\sim N(2,9)$，求 $E(2X-3Y+1)$ 和 $D(2X-3Y+1)$。

解：

$E(2X-3Y+1)=2\times 1-3\times 2+1=-3$

$D(2X-3Y+1)=4\times 4+9\times 9=16+81=97$

例题14

设 $X\sim U(0,2\pi )$，求 $E(\sin X)$ 和 $E(\cos X)$。

解：

$E(\sin X)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\sin xdx=0$

$E(\cos X)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\cos xdx=0$

例题15

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_{100}$ 独立同分布，$X_i\sim B(1,0.6)$，利用切比雪夫不等式估计 $P\left({\sum }_{i=1}^{100}{X}_i\ge 70\right)$。

解：设 $S={\sum }_{i=1}^{100}{X}_i$，$E(S)=60$，$D(S)=24$。

$P(S\ge 70)=P(S-60\ge 10)\le P(|S-60|\ge 10)\le \frac{D(S)}{10^2}=\frac{24}{100}=0.24$