数学期望

1. 数学期望的定义

1.1 离散型随机变量的期望

设离散型随机变量 $X$ 的分布律为 $P(X=x_k)=p_k$（$k=1,2,\cdots$），若级数 ${\sum }_{k=1}^{\infty }|x_k|p_k$ 收敛，则称

$E(X)={\sum }_{k=1}^{\infty }{x}_k{p}_k$

为 $X$ 的数学期望（简称期望或均值）。

注意：要求级数绝对收敛。若 $\sum |x_k|p_k=+\infty$，则称 $X$ 的期望不存在。

1.2 连续型随机变量的期望

设连续型随机变量 $X$ 的密度函数为 $f(x)$，若积分 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }|x|f(x)dx$ 收敛，则称

$E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx$

为 $X$ 的数学期望。

1.3 期望的直观意义

数学期望是随机变量取值的”加权平均”，权重为各取值的概率。它反映了随机变量取值的中心位置。

2. 随机变量函数的期望

2.1 一维随机变量函数的期望

离散型：设 $Y=g(X)$，则

$E(Y)=E[g(X)]={\sum }_{k=1}^{\infty }g(x_k)p_k$

连续型：设 $Y=g(X)$，则

$E(Y)=E[g(X)]={\int }_{-\infty }^{+\infty }g(x)f(x)dx$

重要：不需要先求 $Y$ 的分布，可以直接用 $X$ 的分布计算 $E[g(X)]$。

2.2 二维随机变量函数的期望

离散型：

$E[g(X,Y)]={\sum }_{i=1}^{\infty }{\sum }_{j=1}^{\infty }g(x_i,y_j)p_{ij}$

连续型：

$E[g(X,Y)]={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }g(x,y)f(x,y)dxdy$

3. 数学期望的性质

3.1 基本性质

1. 常数性质：$E(C)=C$（$C$ 为常数）

2. 线性性质：$E(aX+b)=aE(X)+b$

3. 可加性：$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$（无论 $X,Y$ 是否独立）

4. 乘法性质：若 $X$ 与 $Y$ 独立，则 $E(XY)=E(X)\cdot E(Y)$

   注意：反之不成立，即 $E(XY)=E(X)E(Y)$ 不能推出 $X$ 与 $Y$ 独立。

5. 推广：$E\left({\sum }_{i=1}^n{a}_i{X}_i\right)={\sum }_{i=1}^n{a}_{i}E(X_i)$

3.2 性质的应用

例题：设 $X\sim B(n,p)$，利用性质求 $E(X)$。

解：$X$ 可表示为 $n$ 个独立 0-1 变量之和：$X=X_1+X_2+\cdots +X_n$，其中 $X_i\sim B(1,p)$，$E(X_i)=p$。

$E(X)=E(X_1)+E(X_2)+\cdots +E(X_n)=np$

4. 常用分布的期望

5. 条件期望

5.1 定义

离散型：在 $Y=y_j$ 条件下 $X$ 的条件期望为

$E(X\mid Y=y_j)={\sum }_{i=1}^{\infty }{x}_{i}P(X=x_i\mid Y=y_j)$

连续型：在 $Y=y$ 条件下 $X$ 的条件期望为

$E(X\mid Y=y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }x{f}_{X\mid Y}(x\mid y)dx$

5.2 全期望公式

$E(X)=E[E(X\mid Y)]$

即

$E(X)=\{\begin{array}{ll}{\sum }_{j}E(X\mid Y=y_j)P(Y=y_j),& \text{离散型}\\ {\int }_{-\infty }^{+\infty }E(X\mid Y=y)f_Y(y)dy,& \text{连续型}\end{array}$

5.3 全期望公式的应用

例题：某商店每天的顾客数 $N\sim P(50)$，每位顾客的消费金额 $X_i\sim \text{Exp}(0.01)$（独立同分布），且 $N$ 与 $\{X_i\}$ 独立。求商店每天的总营业额期望。

解：设总营业额 $S={\sum }_{i=1}^N{X}_i$。

$E(S)=E[E(S\mid N)]=E[N\cdot E(X_1)]=E(N)\cdot E(X_1)=50\times 100=5000$

6. 期望不存在的例子

6.1 柯西分布

设 $X$ 的密度为 $f(x)=\frac{1}{\pi (1+x^2)}$，则

$E(|X|)={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{|x|}{\pi (1+x^2)}dx=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{+\infty }\frac{x}{1+x^2}dx=+\infty$

故柯西分布的期望不存在。

6.2 期望存在但高阶矩不存在

设 $X$ 的密度为 $f(x)=\frac{2}{x^3}$（$x>1$），则

$E(X)={\int }_1^{+\infty }x\cdot \frac{2}{x^3}dx=2{\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^2}dx=2$

但 $E(X^2)={\int }_1^{+\infty }{x}^2\cdot \frac{2}{x^3}dx=2{\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x}dx=+\infty$，二阶矩不存在。