方差与标准差

1. 方差的定义

1.1 定义

设 $X$ 是随机变量，若 $E[X-E(X){]}^2$ 存在，则称

$D(X)=\text{Var}(X)=E[X-E(X){]}^2$

为 $X$ 的方差。

1.2 方差的计算公式

$D(X)=E[X-E(X){]}^2=E(X^2)-[E(X){]}^2$

这是最常用的方差计算公式。

推导：

$D(X)=E[X-E(X){]}^2=E[X^2-2XE(X)+E(X{)}^2]=E(X^2)-2E(X)\cdot E(X)+E(X{)}^2=E(X^2)-[E(X){]}^2$

1.3 离散型与连续型的计算

离散型：

$D(X)={\sum }_{k=1}^{\infty }[x_k-E(X){]}^2{p}_k={\sum }_{k=1}^{\infty }{x}_k^2{p}_k-[E(X){]}^2$

连续型：

$D(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }[x-E(X){]}^{2}f(x)dx={\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}^{2}f(x)dx-[E(X){]}^2$

2. 标准差

2.1 定义

方差的算术平方根称为标准差（或均方差）：

$\sigma (X)=\sqrt{D(X)}$

2.2 标准差的意义

标准差与 $X$ 具有相同的量纲，更便于实际解释。它衡量了随机变量取值偏离均值的平均程度。

3. 方差的性质

3.1 基本性质

1. 非负性：$D(X)\ge 0$，且 $D(X)=0⟺P(X=C)=1$

2. 常数方差：$D(C)=0$

3. 线性变换：$D(aX+b)=a^{2}D(X)$

4. 独立可加性：若 $X$ 与 $Y$ 独立，则 $D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)$

5. 一般公式：$D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\mp 2\text{Cov}(X,Y)$

6. 标准化：若 $D(X)>0$，则 $D\left(\frac{X-E(X)}{\sqrt{D(X)}}\right)=1$

3.2 性质的证明

性质3：$D(aX+b)=E[(aX+b)-E(aX+b){]}^2=E[aX-aE(X){]}^2=a^{2}E[X-E(X){]}^2=a^{2}D(X)$

性质4：$D(X+Y)=E[(X+Y{)}^2]-[E(X+Y){]}^2$

$=E(X^2)+2E(XY)+E(Y^2)-[E(X){]}^2-2E(X)E(Y)-[E(Y){]}^2$

当 $X$ 与 $Y$ 独立时，$E(XY)=E(X)E(Y)$，故

$D(X+Y)=E(X^2)-[E(X){]}^2+E(Y^2)-[E(Y){]}^2=D(X)+D(Y)$

4. 常用分布的方差

4.1 方差推导示例

二项分布 $B(n,p)$：

$X=X_1+X_2+\cdots +X_n$，$X_i$ 独立同分布，$X_i\sim B(1,p)$。

$D(X_i)=E(X_i^2)-[E(X_i){]}^2=p-p^2=p(1-p)$

$D(X)=np(1-p)$

泊松分布 $P(\lambda )$：

$E(X^2)={\sum }_{k=0}^{\infty }{k}^2\cdot \frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}=\lambda (\lambda +1)$

$D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2=\lambda (\lambda +1)-{\lambda }^2=\lambda$

均匀分布 $U(a,b)$：

$E(X^2)={\int }_a^b\frac{x^2}{b-a}dx=\frac{a^2+ab+b^2}{3}$

$D(X)=\frac{a^2+ab+b^2}{3}-{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2=\frac{(b-a{)}^2}{12}$

指数分布 $\text{Exp}(\lambda )$：

$E(X^2)={\int }_0^{+\infty }{x}^2\lambda e^{-\lambda x}dx=\frac{2}{{\lambda }^2}$

$D(X)=\frac{2}{{\lambda }^2}-\frac{1}{{\lambda }^2}=\frac{1}{{\lambda }^2}$

正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$：

$D(X)={\sigma }^2$

4.2 常用分布的方差汇总

5. 变异系数

5.1 定义

$C_V=\frac{\sqrt{D(X)}}{E(X)}=\frac{\sigma }{\mu }$

称为变异系数（或离散系数）。

5.2 意义

变异系数消除了量纲和均值大小的影响，可以比较不同量纲或不同均值水平的随机变量的离散程度。

6. 方差的应用

6.1 风险度量

在金融中，方差常作为投资风险的度量。方差越大，收益的不确定性越高。

6.2 精度评估

在测量和统计中，方差反映了估计的精度。方差越小，估计越精确。

6.3 投资组合

设两种资产的收益率分别为 $X$ 和 $Y$，权重为 $w$ 和 $1-w$，则组合收益 $R=wX+(1-w)Y$ 的方差为

$D(R)=w^{2}D(X)+(1-w{)}^{2}D(Y)+2w(1-w)\text{Cov}(X,Y)$

通过选择适当的权重，可以在给定期望收益下最小化方差（马科维茨投资组合理论）。