联合分布

1. 二维随机变量

1.1 定义

设 $E$ 是一个随机试验，$\Omega$ 为其样本空间，$X=X(\omega )$ 和 $Y=Y(\omega )$ 是定义在 $\Omega$ 上的两个随机变量，则称 $(X,Y)$ 为二维随机变量（或二维随机向量）。

1.2 二维随机变量的分类

• 二维离散型：$X$ 和 $Y$ 都取有限个或可列个值
• 二维连续型：存在非负函数 $f(x,y)$ 使得 $F(x,y)=\iint f(u,v)dudv$
• 混合型：一个离散一个连续

2. 联合分布函数

2.1 定义

设 $(X,Y)$ 是二维随机变量，对任意实数 $x,y$，二元函数

$F(x,y)=P(X\le x,Y\le y)$

称为 $(X,Y)$ 的联合分布函数。

2.2 几何意义

$F(x,y)$ 表示随机点 $(X,Y)$ 落在以 $(x,y)$ 为右上顶点的无穷矩形区域内的概率。

2.3 联合分布函数的性质

1. 单调性：$F(x,y)$ 关于 $x$ 和 $y$ 分别单调不减

2. 有界性：$0\le F(x,y)\le 1$

3. 边界值：

$F(-\infty ,y)=0,F(x,-\infty )=0,F(-\infty ,-\infty )=0,F(+\infty ,+\infty )=1$

4. 右连续：$F(x,y)$ 关于 $x$ 和 $y$ 分别右连续

5. 非负性：对任意 $x_1<x_2,y_1<y_2$，

$P(x_1<X\le x_2,y_1<Y\le y_2)=F(x_2,y_2)-F(x_1,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1)\ge 0$

2.4 由联合分布函数计算概率

$P(x_1<X\le x_2,y_1<Y\le y_2)=F(x_2,y_2)-F(x_1,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1)$

3. 二维离散型随机变量

3.1 联合分布律

设 $(X,Y)$ 的所有可能取值为 $(x_i,y_j)$（$i,j=1,2,\cdots$），则

$P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij},i,j=1,2,\cdots$

称为 $(X,Y)$ 的联合分布律。

3.2 联合分布律的性质

1. $p_{ij}\ge 0$
2. $\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }{p}_{ij}=1$

3.3 联合分布律与联合分布函数的关系

$F(x,y)={\sum }_{x_i\le x}{\sum }_{y_j\le y}{p}_{ij}$

3.4 示例

例题：袋中有 2 个红球和 3 个白球，从中不放回地取两次，每次取一个。设 $X$ 为第一次取到的红球数，$Y$ 为第二次取到的红球数，求 $(X,Y)$ 的联合分布律。

解：

$P(X=0,Y=0)=\frac{3}{5}\times \frac{2}{4}=\frac{3}{10}$

$P(X=0,Y=1)=\frac{3}{5}\times \frac{2}{4}=\frac{3}{10}$

$P(X=1,Y=0)=\frac{2}{5}\times \frac{3}{4}=\frac{3}{10}$

$P(X=1,Y=1)=\frac{2}{5}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{10}$

4. 二维连续型随机变量

4.1 联合概率密度

设 $(X,Y)$ 的联合分布函数为 $F(x,y)$，若存在非负可积函数 $f(x,y)$，使得

$F(x,y)={\int }_{-\infty }^y{\int }_{-\infty }^{x}f(u,v)dudv$

则称 $(X,Y)$ 为二维连续型随机变量，$f(x,y)$ 为联合概率密度函数。

4.2 联合概率密度的性质

1. 非负性：$f(x,y)\ge 0$

2. 规范性：${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dxdy=1$

3. 概率计算：$P((X,Y)\in D)={\iint }_{D}f(x,y)dxdy$

4. 在连续点处：$\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x\partial y}=f(x,y)$

4.3 示例

例题：设 $(X,Y)$ 的联合密度为

$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}6x{y}^2,& 0<x<1,0<y<1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$

验证规范性并求 $P(X+Y\le 1)$。

解：

${\int }_0^1{\int }_0^{1}6x{y}^{2}dxdy=6{\int }_0^{1}xdx\cdot {\int }_0^1{y}^{2}dy=6\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{3}=1✓$

$P(X+Y\le 1)={\int }_0^1{\int }_0^{1-x}6x{y}^{2}dydx={\int }_0^{1}6x\cdot \frac{(1-x{)}^3}{3}dx=2{\int }_0^{1}x(1-x{)}^{3}dx$

$=2\cdot B(2,4)=2\cdot \frac{\Gamma (2)\Gamma (4)}{\Gamma (6)}=2\cdot \frac{1!\cdot 3!}{5!}=2\cdot \frac{6}{120}=\frac{1}{10}$

5. 常见二维分布

5.1 二维均匀分布

设 $D$ 为平面上的有界区域，面积为 $S_D$，若 $(X,Y)$ 的联合密度为

$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{S_D},& (x,y)\in D\\ 0,& \text{其他}\end{array}$

则称 $(X,Y)$ 在区域 $D$ 上服从均匀分布。

5.2 二维正态分布

若 $(X,Y)$ 的联合密度为

$f(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}\exp \left\{-\frac{1}{2(1-{\rho }^2)}\left[\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}-\frac{2\rho (x-{\mu }_1)(y-{\mu }_2)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}+\frac{(y-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}\right]\right\}$

则称 $(X,Y)$ 服从参数为 ${\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho$ 的二维正态分布，记作 $(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho )$。

其中 $\rho$ 为 $X$ 与 $Y$ 的相关系数，$|\rho |<1$。

重要性质：

1. $X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$，$Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$
2. $X$ 与 $Y$ 独立 $⟺$ $\rho =0$
3. $(X,Y)$ 的任意线性组合仍为正态分布