边缘分布

1. 边缘分布函数

1.1 定义

设 $(X,Y)$ 的联合分布函数为 $F(x,y)$，则

$F_X(x)=P(X\le x)=P(X\le x,Y<+\infty )=F(x,+\infty )={\lim }_{y\to +\infty }F(x,y)$

$F_Y(y)=P(Y\le y)=P(X<+\infty ,Y\le y)=F(+\infty ,y)={\lim }_{x\to +\infty }F(x,y)$

分别称为 $(X,Y)$ 关于 $X$ 和关于 $Y$ 的边缘分布函数。

1.2 边缘分布与联合分布的关系

• 联合分布 $\Rightarrow$ 边缘分布（唯一确定）
• 边缘分布 $\nRightarrow$ 联合分布（不唯一确定）

不同的联合分布可以有相同的边缘分布。

2. 离散型随机变量的边缘分布

2.1 边缘分布律

设 $(X,Y)$ 的联合分布律为 $P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij}$，则

$P(X=x_i)={\sum }_{j=1}^{\infty }{p}_{ij}=p_{i\cdot },i=1,2,\cdots$

$P(Y=y_j)={\sum }_{i=1}^{\infty }{p}_{ij}=p_{\cdot j},j=1,2,\cdots$

分别称为关于 $X$ 和关于 $Y$ 的边缘分布律。

2.2 计算方法

在联合分布律表中：

• $X$ 的边缘分布律：将每行求和，写在表的右边
• $Y$ 的边缘分布律：将每列求和，写在表的下边

2.3 示例

设 $(X,Y)$ 的联合分布律为：

$X$ 的边缘分布律：

$Y$ 的边缘分布律：

3. 连续型随机变量的边缘分布

3.1 边缘概率密度

设 $(X,Y)$ 的联合概率密度为 $f(x,y)$，则

$f_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy$

$f_Y(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx$

分别称为关于 $X$ 和关于 $Y$ 的边缘概率密度。

3.2 计算要点

1. 确定联合密度 $f(x,y)$ 的非零区域
2. 对 $y$ 积分求 $f_X(x)$ 时，注意 $y$ 的积分范围可能依赖于 $x$
3. 对 $x$ 积分求 $f_Y(y)$ 时，注意 $x$ 的积分范围可能依赖于 $y$

3.3 示例

例题：设 $(X,Y)$ 的联合密度为

$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}2,& 0<x<y<1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$

求边缘概率密度 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$。

解：

$f_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy={\int }_x^{1}2dy=2(1-x),0<x<1$

$f_Y(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx={\int }_0^{y}2dx=2y,0<y<1$

3.4 二维正态分布的边缘分布

设 $(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho )$，则

$X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2),Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$

边缘分布与参数 $\rho$ 无关，说明不同的联合分布（不同的 $\rho$）可以有相同的边缘分布。

4. 边缘分布与联合分布的关系

4.1 联合分布确定边缘分布

由联合分布可以唯一确定边缘分布，这是显然的。

4.2 边缘分布不能确定联合分布

反例：设 $(X,Y)$ 的联合密度为

$f_1(x,y)=\{\begin{array}{ll}4xy,& 0<x<1,0<y<1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$

$f_2(x,y)=\{\begin{array}{ll}8xy,& 0<x<y<1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$

可以验证两者关于 $X$ 的边缘密度不同，但如果构造更精巧的例子，可以使得两个不同的联合分布具有相同的边缘分布。

4.3 独立时的特殊情况

当 $X$ 与 $Y$ 独立时，联合分布由边缘分布唯一确定：

$f(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)$

$P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)\cdot P(Y=y_j)$